n属于N,证n^5/5+n^3/3+7n/15是整数

shingrons

我只会用数学归纳法证明
想请问除了数学归纳法，还有什么其它的证明途径？
数论中的mod可以做到么？

dunwan2tellu

相等于证明

n(3n^4 + 5n^2 + 7) = 0 (mod 15)

考虑 mod 3 则，
n(3n^4 + 5n^2 + 7) = n(n+1)(n-1) = 0 (mod 3) 因为连续三个号码一定有一个能被三除。

考虑 mod 5 则，
n(3n^4 + 5n^2 + 7) = n(3n^4 + 2) = 0 (mod 5) 因为如果 n 不是 5 的倍数，那么就得到 n^4 = 1 (mod 5) => 3n^4 + 2 = 0 (mod 5)

综合得到
n(3n^4 + 5n^2 + 7) = 0 (mod 15)

shingrons

谢dunwan2tellu