经典级数题目

dunwan2tellu

看到个不错的题目，就贴上来分享。

求 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ....

分母部分是所有只能被 2 和 3 整除的数目。

dunwan2tellu

之后也可以试看把他generalised 到可以被n个质数整除的和。

E.g ： 被 2,3,5,7 整除。

铁蛋

怎么会收敛呢？

dunwan2tellu

铁蛋兄，注意哦，是只能被 2,3 整除。而不是所有被2,3 整除。

flash

原帖由 dunwan2tellu 于 24-11-2005 05:28 PM 发表
铁蛋兄，注意哦，是只能被 2,3 整除。而不是所有被2,3 整除。

dunwan2tellu 网友， 如果不是所有被2,3 整除，那么我们怎么知道下一个该加的号码该是什么？如你给的前面几个号码，

原帖由 dunwan2tellu 于 24-11-2005 03:32 PM 发表
看到个不错的题目，就贴上来分享。

求 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ....

分母部分是所有只能被 2 和 3 整除的数目。

1/10 并没在里面（虽然 10 可被 2 整除）。那 1/12 下一个号码是什么？是 1/14？还是 1/15？还是 1/16？

dunwan2tellu

flash 兄， 10 不在里面因为他也可以被 5 整除。这表示它不是只能被 2 整除。为了方便明白，所有的分母都是 2^a 3^b , a,b>=0 的pattern .

hamilan911

设S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ....
所以S = 1 + 1/2 S + 1/3 S - 1/6 S
S = 1 + 2/3 S
1/3 S= 1
S = 3

dunwan2tellu

赞！ hamilan911 ! 对了。我的做法是用 GP 的，不过我喜欢你的做法！

dunwan2tellu

有没有人要试试我所说的GP的方法呢？还是其他的方法呢？这题可以generalise 哦。E.g : 求所有分母为 p1^(a1)p2^(a2)...pn^(an)，ai =>0 ,pi为质，分子为 1 ,的级数。

铁蛋

看起来是对可是记得 S 是 infinite series.

1/2 S + 1/3 S - 1/6 S 里的项到底要怎么排呢？如果是多项式就没有问题，可是S是 infinite series, 在计算有负值的 infinite series 秩序很重要，因为如果秩序不重要那总可以找到一些项的组合使到这个 infinite series 收敛或发散.

利用多项式的解法于infinite series, 在理论方面有问题。

dunwan2tellu

会吗？这方法就像集合里  P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A N B) .应该不会有那个特别状况吧？ 这应该不会和那 1-1+1-1+1....=0 或 1 的问题相同的。

铁蛋

S 每一项的式是 1/(2^x 3^y).

A = {(x,y)} = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (1,2), ....}

注意: {(0,1), (1,1), (2,1), (3,1), .... }  是 A 的子集. 可是

1/3 + 1/6 + 1/12 + 1/24 + ... ≤ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/12 + 1/16 + 1/18 + 1/24 + ...

然而左边不收敛,.所以我对之前的解有怀疑。

[ 本帖最后由 铁蛋 于 26-11-2005 03:15 PM 编辑 ]

灰羊

那么dunwan2tellu贴上你的解答来看看吧

aluba

原帖由 hamilan911 于 25-11-2005 07:43 PM 发表
设S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ....
所以S = 1 + 1/2 S + 1/3 S - 1/6 S
S = 1 + 2/3 S
1/3 S= 1
S = 3

S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ....
怎樣變成S = 1 + 1/2 S + 1/3 S - 1/6 S
????

dunwan2tellu

我的是酱解

分母是 2^a 3^b  , a,b>= 0

当 a 是任何非零整数时 ，b 可以是 0 到 无限。所以它们的和是

(sum 1/2^a )(sum 1/3^b) = 2 x 3/2 = 3

*上面的是两个等比无穷级数的积。

dunwan2tellu

回铁蛋＃12

左边是等比无穷级数 ，a=1/3 , r=1/2 所以当然收敛到 2/3 .我不明白你想表达的是什么？

铁蛋

很抱歉看花了眼！ 人老了越来越糊涂


                分母值
                  x
y   0     1     2      3      4      5

0   1     2     4      8      16     32  ...
1   3     6     12     24     48     96  ...
2   9     18    36     72     144    288 ...
3   27    ..................................
4   81    ..................................
.    .
.    .
.    .

每一排都可以 factorize 出一个无穷几何和 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2.
而这个每一排都会乘上 1, 1/3 , 1/9 , ... 故有

(1 + 1/3 + 1/9 + ... ) * 2 = 3 .

hamilan911 虽然得到一样的答案，可是必须先证明 S 是收敛的，那 S 就是一个常数，这样他的作法才成立。如果 S 不收敛，那这个做法肯定不成立。所以要使到它严谨就必需附上S收敛的证。

dunwan2tellu

那么有何方法可以先证明S是收敛的呢？

whitelighter

原帖由 hamilan911 于 25-11-2005 07:43 PM 发表
设S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ....
所以S = 1 + 1/2 S + 1/3 S - 1/6 S
S = 1 + 2/3 S
1/3 S= 1
S = 3

不明白…有谁可以解释吗？
如果s是infinite series的话…还是想不通…

hamilan911

S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/16 + 1/18 + 1/24 + 1/27 + 1/32 + 1/36......
  = 1 + 1/2(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/18....) + 1/3(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/18....) - 1/6(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/18....)
  = 1 + 1/2S + 1/3S - 1/6S
酱解释会较清楚吧，其实这就是用到那个set的P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A N B)