关于级数的问题～

康骑士

1.      2+22+222+2222+22222......
求首n项之和～

2..     已知1+1/2²+1/3²+....1/n²+....=(pie)²/6   试求1+1/3²+1/5²+....+1/(2n-1)²+...之值

多普勒效应

1.
设 a_n = 11...1  (共 n 个 1)
可发现 a_n = 999...9/9  = (10^n - 1)/9

现在, 设 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n
                     = 1 + 11 + 111 + ... + 111...1   (最后一项共有 n 个 "1")
       10(S_n) =        10 + 110 + ... + 111...10 + 111...110   (最后第二项共有 n-1 个 "1", 最后一项共有 n 个 "1")

因此: 9(S_n) = 10(S_n) - S_n = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 10*a_n
         9(S_n) = n + 10*(10^n - 1)/9
          S_n = n/9 + 10*(10^n - 1)/81

最后, 我们要的答案是 2(S_n) = 2n/9 + 20*(10^n - 1)/81

多普勒效应

2.

   1+1/3²+1/5²+....+1/(2n-1)²+...
= (1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... ) - (1/2² + 1/4² + 1/6² + ... )
= (1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... ) - (1/2&#178*(1/1² + 1/2² + 1/3² + ... )
= (pi)²/6 - (1/4)*((pi)²/6)
= (pi)²/8