University-数学讨论区-Calculus, Real Analysis

mathlim

原帖由 DADDY_MUMMY 于 6-4-2009 04:16 PM 发表
吓？是昧？
我不懂，书上不是说只能一对一吗？
当然，我也不懂为何要限制它的联系。。

一对一这个概念很重要。
很多人懂若 2^x = 2^5, 则 x = 5。
若 x^2 = 5^2, 则未必 x = 5。
但是他们无法正确的说出原因。
那时因为 f(x) = 2^x 是一对一函数，
而 f(x) = x^2 不是一对一函数。

puangenlun

function应该满足两条

1. f(x)=y , f(x)=z , then y=z

2. domain 的全部 element 都有定义

应该是这样，错了大家指正

DADDY_MUMMY

原帖由 flash 于 6-4-2009 05:36 PM 发表



function 可以多对一。

一对一的 function 我们称为 one-to-one 。

哦～原来如此

原帖由 mathlim 于 7-4-2009 08:33 AM 发表


一对一这个概念很重要。
很多人懂若 2^x = 2^5, 则 x = 5。
若 x^2 = 5^2, 则未必 x = 5。
但是他们无法正确的说出原因。
那时因为 f(x) = 2^x 是一对一函数，
而 f(x) = x^2 不是一对一函数。

那答案不是５，是什么？？
我的疑问是发明这个函数时，
为什么只能一对一及多对一，而不能一对多及多对多?

mathlim

若 x^2 = 5^2，
x 未必是 5，
x 可以是 -5 呀！

又比如 sinx = siny，
但是未必 x = y。
因为 sin 函数不是一对一函数。

mathlim

原帖由 DADDY_MUMMY 于 7-4-2009 01:43 PM 发表
我的疑问是发明这个函数时，
为什么只能一对一及多对一，而不能一对多及多对多?

那不是发明，是定义。
一对多和多对多也可以，
但它们仅是relation，
而不是function。
function是满足某些条件的relation。
我们生活中常接触的幂函数、三角函数、指数函数和对数函数等，
都满足函数的条件。
一对多或多对多的关系，
它没有很好的性质，
我们没有兴趣讨论它。
比如 f 是一个一对多的关系，f(x) = x+1, x+2, x+3,
f(1) = 2, 3, 4
(f·f)(1) = f[f(1)] = f(2, 3, 4) = 3, 4, 5, 6, 7
这样的关系，你有兴趣吗？
在数学中，也不太会有类似的一对多关系。

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 7-4-2009 05:01 PM 发表
若 x^2 = 5^2，
x 未必是 5，
x 可以是 -5 呀！

又比如 sinx = siny，
但是未必 x = y。
因为 sin 函数不是一对一函数。

根据你的句字，我了解的是：
若x^2 = 25，x 未必是 5，
若x^2 = 5^2，x 一定是 5.

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 7-4-2009 05:17 PM 发表


那不是发明，是定义。
一对多和多对多也可以，
但它们仅是relation，
而不是function。
function是满足某些条件的relation。
我们生活中常接触的幂函数、三角函数、指数函数和对数函数等，
都满足函数的条 ...

我懂了～
值得研究的relation就叫function。。。
不过我只觉得它有趣，不代表有兴趣。。。
有兴趣的不一定有趣，不是吗？？

mathlim

原帖由 DADDY_MUMMY 于 7-4-2009 09:34 PM 发表
根据你的句字，我了解的是：
若x^2 = 25，x 未必是 5，
若x^2 = 5^2，x 一定是 5.

你误解了！
若 2^x = 2^5, x 一定是 5。
若 x^2 = 5^2, x 未必是 5。

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 9-4-2009 11:44 AM 发表


你误解了！
若 2^x = 2^5, x 一定是 5。
若 x^2 = 5^2, x 未必是 5。

哈？？为啥呢？？
这个我和你一样。。。
这个和你不一样。。。

x^2 = 5^2，x 一定是 5
x^2 = 25，x 未必是 5
因为25不一定是5^2，也可以是(-5)^2，不是吗？？

flash

原帖由 DADDY_MUMMY 于 9-4-2009 04:03 PM 发表


哈？？为啥呢？？
这个我和你一样。。。
这个和你不一样。。。

x^2 = 5^2，x 一定是 5
x^2 = 25，x 未必是 5
因为25不一定是5^2，也可以是(-5)^2，不是吗？？

你看走眼 mathlim 的解释了，他的第一个是

若 2^x = 2^5, x 一定是 5。

第二个是

若 x^2 = 5^2, x 未必是 5。

hihi23

Determine whether the infinite series is convergent or divergent                      Σ{ [ sqrt( n+1 ) - sqrt( n-1 ) ] / n }

请各位大大教我做这一题。可以的话尽量用 Integral test, comparison test, limit comparison test, alternating series test, ratio test , root test. 因为小弟只学了这些。

distantstar

Since [sqrt(n+1) - sqrt(n-1)]/n = 2 / [ n( sqrt(n+1) + sqrt(n-1) ) ] < 2 / n^(3/2)
and the series Σ 2/n^(3/2) converges, thus by comparison test, the original series converges.

DADDY_MUMMY

原帖由 flash 于 9-4-2009 07:24 PM 发表



你看走眼 mathlim 的解释了，他的第一个是

若 2^x = 2^5, x 一定是 5。

第二个是

若 x^2 = 5^2, x 未必是 5。

很乱水！！！我不懂我到底错在哪里

mathlim

f(x) = 2^x is a Exponential Function.
f(x) = x^2 is a Polynomial Function.

hihi23

原帖由 distantstar 于 10-4-2009 01:05 AM 发表
Since [sqrt(n+1) - sqrt(n-1)]/n = 2 / [ n( sqrt(n+1) + sqrt(n-1) ) ] < 2 / n^(3/2)
and the series Σ 2/n^(3/2) converges, thus by comparison test, the original series converges.

请问  sqrt( x+1 ) + sqrt( x-1) 肯定大于 sqrt( x) 的吗？

sqrt( x+1 ) + sqrt( x-1) > sqrt( x)  ??

mathlim

√(x+1) > √x
∴√(x+1) + √(x-1) > √(x)

hihi23

原帖由 mathlim 于 10-4-2009 12:51 PM 发表
√(x+1) > √x
∴√(x+1) + √(x-1) > √(x)

明白了。谢谢。

hihi23

Determine whether the infinite series is convergent or divergent                      Σ (1/2) ^ ln (n)

请教一下这一题，我又不会做了... ...

distantstar

Response: The series diverges.

Use integration test since the general term 1/2^(ln n) decreases.

First, we have
inte (from 1 to n+1) exp(-ln 2 ln x) <= sigma (from 1 to n) 1/2^(ln k)
By integration by parts, we have then
[(n+1)exp( -ln2 ln (n+1) ) -1 ] / (1-ln2) <= sigma (from 1 to n) 1/2^(ln k)
The left hand side of the inequality above obviously diverges as n goes to infinity.
Thus, the original series diverges.

hihi23

原帖由 distantstar 于 11-4-2009 01:48 AM 发表
Response: The series diverges.

Use integration test since the general term 1/2^(ln n) decreases.

First, we have
inte (from 1 to n+1) exp(-ln 2 ln x)  

我发现了一样东西， 2^(ln n) < n , 这样可以用 comparison test 了。

可是我想问下，inte (from 1 to n+1) exp(-ln 2 ln x)  ，怎样 integration by part ？