University-数学讨论区-Calculus, Real Analysis

JamesTea

原帖由 mathlim 于 25-1-2009 10:25 PM 发表

应该是

1/(a+b-c) +1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) > 1/2a + 1/2b + 1/2c

a + b > c
a > c - b
2a > c + a - b > 0
1/(c + a - b) > 1/2a

那这题之后我们要怎么让它大过 1/a 呢 ？

因为 1/a > 1/2a ，我觉得不能直接做吧 ？？

mathlim

当然是不可以！
1/(2a) ≯ 1/a

dunwan2tellu

原帖由 JamesTea 于 29-1-2009 11:39 AM 发表
a³ + b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a
a³ + b³ + c³ ≥ b²a + c²b + a²c.
a³ + b³ + c³ ≥ 3abc

请问这三个已经是定下来了的吗 ？？所 ...

3( a³ + b³ + c³ ) - 3( a²b + b²c + c²a )
= (2a³ + b³ - 3a²b) + (2b³ + c³ - 3b²c) + (2c³ + a³ - 3c²a)
= (2a+b)(a-b)² + (2b+c)(b-c)²  + (2c+a)(c-a)²  >= 0          if 2a+b>=0 , 2b+c>=0 2c+a>=0

同样也可以证明第2的
要快的话，直接用 AM-GM inequality

a³ + b³ + c³ - 3abc = 1/2 ( a+b+c)((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) >=0   if a+b+c>=0

wounboshen

请问一下：
converges和diverges是什么来（在series里）？
可以大概给个概念吗？

汉王

原帖由 wounboshen 于 14-2-2009 02:26 PM 发表
请问一下：
converges和diverges是什么来（在series里）？
可以大概给个概念吗？

很奇怪的哦！prove不到converges应该是diverges了啊！做么还要这么多test哦？？有个位学哥学姐能解释下吗？

dunwan2tellu

原帖由 wounboshen 于 14-2-2009 02:26 PM 发表
请问一下：
converges和diverges是什么来（在series里）？
可以大概给个概念吗？

Given a sequence , the nth partial sum Sn is the sum of the first n terms of the sequence, that is,


A series converges if there exists a limit such that for any arbitrarily small positive number , there is a large integer N such that for all ,A sequence that is not convergent is said to be divergent.


~ wikipedia ~

hihi23

请问下,下面那两题怎样证，

1）If {a_n} is convergent , show that

        lim_n-->infinity  (a_n+1)  =   lim_n-->infinity  (a_n)   

2）Show that if   lim_n-->infinity  (a_2n)  = L    and lim_n-->infinity  (a_2n+1)  =L  then  {a_n} is  convergent  and  lim_n-->infinity  (a_n)  = L


想了老半天也不会证。

chingjun

用反证法证明。
或者从定义下手也可以。。

[ 本帖最后由 chingjun 于 17-2-2009 10:30 PM 编辑 ]

汉王

原帖由 chingjun 于 17-2-2009 10:29 PM 发表
用反证法证明。
或者从定义下手也可以。。

可以做出来看吗？

dunwan2tellu

1）If {an} is convergent , show that

        limn-->infinity  (an+1)  =   limn-->infinity  (an)   

if {a_n} convergent ,那么for any e>0 , there exist an N such that when n> N then

|a_n - L| < e  for some constant L <===> lim_{n->infinity} (a_n) = L

when n>N, n+1>N+1>N so |a_{n+1} - L| < e <==> lim_{n->infinity}(a_{n+1}) = L

2）Show that if   limn-->infinity  (a2n)  = L    and limn-->infinity  (a2n+1)  =L  then  {an} is  convergent  and  limn-->infinity  (an)  = L

limn-->infinity  (a2n)  = L <==> there exist N1 such that for any e>0
|a_{2n} - L| < e for n>N1 ......(i)

limn-->infinity  (a2n+1)  =L <==> there esixt N2 such that for any e>0
|a_{2n+1} - L| < e for n>N2 ......(i)

我们要证明 |a_n - L| < e for every e>0, and whenever n>M

我们可以设 N = max{N1,N2} , 然后 choose M = 2N+1 , then when n>M
a_n 可能是 a_2k 或 a_(2k+1), 所以

当 a_n 是 a_2k 时候，也就是 2k = n > M = 2N + 1 > 2N >= 2N1  <==> k>N1 所以 by (i)
|a_n - L|< e

当 a_n = a_(2k+1) 或 2k+1 = n > M = 2N + 1>= 2N2 + 1 <==> k > N2, by (ii) ,
|a_n - L| < e

结合两个 case, 所以 for any e>0 , when n>M = 2N+1 ,
|a_n - L| < e

hihi23

需要一点时间消化。

hihi23

新题目:
1) If Σ a_n is  convergent and Σb_n is divergent, show that the series Σ(a_n + b_n) is divergent. [Hint: Argue by contradiction]

   虽然有Hint 但是还是不会做。


2) If Σa_n and Σb_n are both divergent, is Σ (a_n +b_n) necessarily divergent? Why?

puangenlun

应该会用到Bolzano–Weierstrass theorem

dunwan2tellu

和 Bolzano–Weierstrass theorem 没关系

1) If Σ a_n is  convergent and Σb_n is divergent, show that the series Σ(a_n + b_n) is divergent. [Hint: Argue by contradiction]

   虽然有Hint 但是还是不会做。

Hint : if Sum c_n converges , Sum d_n converges ==> Sum(c_n + d_n) converges

2) If Σa_n and Σb_n are both divergent, is Σ (a_n +b_n) necessarily divergent? Why?

No .... a_n = 1/n , b_n = -1/n ....
Sum a_n , Sum b_n diverges ,  Sum(a_n+b_n) = 0 ---> converges

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 5-3-2009 11:14 AM 编辑 ]

DADDY_MUMMY

Function 和 Relation有什么分别？？
Function是Relation的其中一部分，
还是Relation是Function的其中一部分？？

mathlim

Function是Relation.
Relation不一定是Function.
符合某些条件的Relation是Function.

DADDY_MUMMY

函数的定义：函数能成立只有在一对一的情况下。（有没有错？）
可是Relation却可以一对多，多对一，还有多对多，对吗？？

mathlim

函数可以多对一呀！
比如f(x) = x&sup2;, x ∈ R.

f(1) = f(-1) = 1

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 6-4-2009 09:07 AM 发表
函数可以多对一呀！
比如f(x) = x&#178;, x ∈ R.

f(1) = f(-1) = 1

吓？是昧？
我不懂，书上不是说只能一对一吗？
当然，我也不懂为何要限制它的联系。。

flash

原帖由 DADDY_MUMMY 于 6-4-2009 04:16 PM 发表


吓？是昧？
我不懂，书上不是说只能一对一吗？
当然，我也不懂为何要限制它的联系。。

function 可以多对一。

一对一的 function 我们称为 one-to-one 。