University-数学讨论区-Calculus, Real Analysis

~HeBe~_@

那你有什么提示呢？

多普勒效应

试一试用这个关系:

[a]+1 > a ≥  [a]



[ 本帖最后由 多普勒效应 于 15-3-2008 05:53 PM 编辑 ]

详圣

三文治定理？
在"≤" 和 "<" 的情况下可以用哦？

JamesTea

不好意思,我又有问题要请教了,觉得很难理解,所以想问问各位学长们的方法....

如果我们要 determine alternative series is convergence or divergence,  （-1）的那一不分是不是不用理的呢 ？？拿个比如 ：


Σ (-1)^n+1 arc sin n
它的 solution 是用 u_n = arc sin n 来做的。 test 了这个过后就 test 有 modulus 的。 然后我看也看不明白

dunwan2tellu

原帖由 JamesTea 于 19-4-2008 04:47 PM 发表
不好意思,我又有问题要请教了,觉得很难理解,所以想问问各位学长们的方法....

如果我们要 determine alternative series is convergence or divergence,  （-1）的那一不分是不是不用理的呢 ？？拿个比如 ：


...

他用的 concept 是

if the sequence is a1,-a2,a3,-a4,.....,(-1)^{n+1)*an , .....

with condition an >= 0 and {a_n} is decreasing sequence and lim a_n = 0 , then the series Sum (-1)^{k+1} a_k converges

list 出他的 series

当 n = even ;

Sum_{2n} = a1 - a2 + a3 - a4 + .... - a_2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ..... +(a_2n-1 - a_2n) >= 0  因为 {a_n} decreasing

Sum_{2n} = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ....  - a_2n =< a1 . 因为 a_{n+1} < a_n

所以可以看到 0 =< Sum_{2n} =< a1

而且不难看到 Series of of sequence T_n = a_(2n-1) - a_(2n) is a positive term series ,  是一个 positive term series . By Monotone Convergent Theorem , Sum_{2n} converges .

同样的道理可以 prove Sum_{2n+1} 也是 converges .

最后因为 Sum_{2n+1} = Sum_2n + a_(2n+1) 而且 lim a_n = 0
所以 lim Sum_{2n+1} = lim Sum_2n

因此 Sum = a1 - a2 + a3 + ... + ... converges if the conditions above are fulfilled

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-4-2008 07:00 PM 编辑 ]

JamesTea

突然觉得要 determine series 的 convergencey and divergency 很混淆下。。 那如果是这问题呢 ？？

Σ [cos^2 n]/[n^2+1]

是不是只有用 comparison test 一种方法呢 ？？我算到是 convergent

[cos^2 n]/[n^2+1]  < 1/[n^2+1]  

因为 sum　1/[n^2+1] 是　１／２　是　ｂｏｕｎｄｅｄ　所以是　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ，ｈｅｎｃｅ　Σ [cos^2 n]/[n^2+1] 　ａｌｓｏ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ．对马？？

dunwan2tellu

你的证明有错 sum　1/[n^2+1]  >= 1/2 是没错，但并不表示他 converges .

要证明 sum 1/(n^2 + 1) converges 并不难，因为

1/(n^2+1) < 1/n^2

而且我们知道 sum 1/n^2 converges by p-series .

所以用 comparison test 就知道 Σ [cos^2 n]/[n^2+1] converges

基本上你用
- n th term test / divergent test
-comparison test
-limit comparison test
-ratio test
-root test
-inetgral test
-Alternating series test

来test 看一个 SERIES converges 还是 diverges

你给的题目是一个很好 demonstrate “comparison test” 的例子

limit comparison test 可以吗？可以。看你如何用。比如你先用 [cos^2 n]/[n^2+1] < 1/(n^2+1) . 然后再用 l.c.t 来 compare 1/(n^2+1) 和 1/n^2 就知道 Sum 1/(n^2+1) converges . 最后再用 comparison test 来决定 Σ [cos^2 n]/[n^2+1] converges

至于 ratio,root,integral test 在这里就不适合用
通常你的 series 有 factorial 的话，就用 ratio test 。比如 sum k!/2^k .

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-4-2008 07:18 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

既然谈到 convergence & divergence of series , 就给一题做看

Determine whether the series is convergence or divergence

Sum Ln(1 + 1/| sin k | )  

Ln = log to the base of e ,  | .. | = absolute value

distantstar

不知道对不对，不过我尝试一下：
since 1/|sinx| >= 1
hence 1 + 1/|sinx| > 2
By the property of the function of y = ln x
we have Ln (1+1/|sinx|) > Ln 2 > 0
Since the series Sum (Ln 2) diverges
then Sum Ln(1+1/|sinx|) diverges by comparison test.

不知道有没有错，高手指点一下。
可以的话ｐｏｓｔ多点习题吧！我需要很多关于ａｎａｌｙｓｉｓ的练习。。。。

我也有一点蛮有趣的题目：
Judge whether the following series converges or diverges:

Sum sin ( Pi * (2 + sqrt(3) )^n ) )

dunwan2tellu

原帖由 distantstar 于 24-4-2008 03:32 AM 发表
不知道对不对，不过我尝试一下：
since 1/|sinx| >= 1
hence 1 + 1/|sinx| > 2
By the property of the function of y = ln x
we have Ln (1+1/|sinx|) > Ln 2 > 0
Since the series Sum (Ln 2) diverges
then ...

对了。

至于你的题目，用 n th term test 就可以知道 lim sin(pi*(2+sqrt[3])^n) does not exist , 所以他 diverges .

还有一题是

Sum 1/[ k * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k ) ] . Determine convergent or divergent

distantstar

怎么回事？我那一题的答案好像是converge的。。。。。。。

你给的那一题，答案应该是diverge吧？我的解答需要时间打出来，稍会儿再打，如今先驱吃晚餐。。

中庸

原帖由 yaahoo 于 18-9-2007 11:15 AM 发表
一个了解这些定理最基本的步骤应该就是要知道积分符号下的函数所代表的意义了。如 curl F 和 div F 到底是什么东东？这些东东的含义又是什么？dot 上 dS 后又代表什么？左边亦然。那定理就很形象化了。

有 ...

沒什麽難吧。。。。都很fundamental的意思。。。。

distantstar

原帖由 distantstar 于 24-4-2008 06:02 PM 发表
怎么回事？我那一题的答案好像是converge的。。。。。。。

你给的那一题，答案应该是diverge吧？我的解答需要时间打出来，稍会儿再打，如今先驱吃晚餐。。

solution as below:

First, we have the following inequality:

Ln (n+1) <= 1+1/2+1/3+.....+1/n <= 1+ Ln  n
The inequality can be easily proved.

Hence,  we have the following key inequality:

1/ [n* (1+1/2+1/3+......+1/n) ] >= 1/ [n* Ln n ]

Since by integral test, we know that the series of the right hand side of the above inequality diverges.
Therefore, by comparison test, the Sum 1/ [n* (1+1/2+1/3+....+1/n)] diverges

版主，我之前的那个问题你确定吗？答案好像是converge的。。。。。。而且还可以近似找到series converges的数值。

dunwan2tellu

你不妨把 solution 打出来看。

distantstar

对不起啦，用英文输入比较方便，以下的内容都用英文输入。

sin (pi * (2+sqrt(3))^n ), I m not sure, can be deduced to be equal to

sin (2-sqrt(3))^n. The exact expression for it is roughly like that, but I am not veru sure
about it, correct me if I am wrong.

Then by equivalence relation and theorem, we can deduce that the original series converges to (2-sqrt(3)) ^n.......

The idea of the solution is roughly like that. Its has been quite a long time ago so I can't remember the exact solution. Btw, I am not the one that produced the solution, my tutor did......

distantstar

最近做了一体蛮有趣的题目：

Show that the recurrence series u_(n+2) = sqrt( u_(n+1) * u_(n) ) is convergent and deduce its limit.

DADDY_MUMMY

我们都知道y = mx + c 是指 y 和 x 之间的 relationship，
比如：y = 5x + 3，
当 x increase 1单位，y increase 5 单位。
也就是说当x 从 2 单位increase 到3单位时，y increase 5单位，对吗？

问题来了，麻烦解释下，谢谢
ln y = k - 0.0026x
当 x 从2单位 increase 到3单位时，y increase 多少？（不是ln y 哦！）
不懂是不是想太多，总觉得不能找y在x=3的值减去y在x=2的值。

dunwan2tellu

我当作你要找 delta y = y2 - y1  where

ln y1 = k - 0.0026 x1
ln y2 = k - 0.0026 x2

x1 = 2 , x2 = 3
delta x = x2 - x1 = 1 所以 x increase 1 单位
那么 ln y2 - ln y1 = -0.0026
=> ln (y2/y1) = -0.0026
=> y2 = y1 * exp(-0.0026)
=> y2 - y1 = ( 1 - exp(-0.0026))*y1   where y1 = exp(k - 0.0052)
所以 y increase ( 1 - exp(-0.0026))*y1 那么多

mathlim

y = 5x + 3，△y与△x成正比。
△y = y2 - y1 = (5x2 + 3) - (5x1 + 3) = 5△x

ln y = k - 0.0026x
y = e^(k - 0.0026x)
△y = y2 - y1 = e^(k - 0.0026x2) - e^(k - 0.0026x1) = [ e^(k - 0.0026x1) ](e^-0.0026△x - 1)
△y 与 △x 及 x1 相关。

DADDY_MUMMY

原来是我想多了，
只要代入x1与x2的value，分别得到的value，再换去exponential的pattern，
就能得到答案了。
可我以为dy/dx只在linear equation在能这样做，
当它是别的函数时，dy/dx就会得到不一样的value
也就是说我以为要用别的方法才能得到value