University-数学讨论区-Calculus, Real Analysis

yaahoo

HeBe, 当你的老师说定理很漂亮的时候，为何不打蛇随棍上 ，问他到底美在那里呢？好跟我们分享嘛！再不然介绍他来佳礼，让我们大家都可受惠。

~HeBe~_@

哈哈！他说去读Topology就懂漂亮咯。。。

他不会教我们深入的。。说若要深入研究就自己去找书看哦。。。

~HeBe~_@

对了，上次和你聊到关于你，
你是不是也是来自UTAR呢？

~HeBe~_@

介绍他来。。。哈哈！
恐怕他没时间上来吧？
他很忙下的哦。。。

chan1314

原帖由 yaahoo 于 18-9-2007 11:48 AM 发表
HeBe, 当你的老师说定理很漂亮的时候，为何不打蛇随棍上 ，问他到底美在那里呢？好跟我们分享嘛！再不然介绍他来佳礼，让我们大家都可受惠。

file:///c:/Temp/moz-screenshot.jpgfile:///c:/Temp/moz-screenshot-1.jpgfile:///c:/Temp/moz-screenshot-2.jpgfile:///c:/Temp/moz-screenshot-3.jpgfile:///c:/Temp/moz-screenshot-4.jpg
从这里， 我可以知道 potential dif V 和 magectic flux 有一腿。
通常给的数据都不足够， 所以只能这个换那个， 然后找。

.

从这里， 我知到有 current flow through 一个 line , 不但有 current , 也有 electric flux.

如果study field theory , 是很重要的。
面对的多数都是 spherical or cylinder coordinate system.
当这些在加上 trigo ,  复杂上更加复杂， 一个 integrate 不小心错， 就告诉你tata le ...

~Lucifer~

原帖由 chan1314 于 18-9-2007 11:10 AM 发表



我明天就考这颗啊。。。。
很美的theory , 也干掉不少人。。。

比如说

Q= integrate p dv,
int J.ds = d/dt (int p dv)
int div J.dv = int par P/par t dv
int (div.J + par p/ par t ) dv = ...

我们读得好像没那么深，不过这次mid term也fail了很多人...这两个theorem我只懂formula吧了，不明白原理，老师有很敷衍下

ps:各位都有打dota?dpuble kill,triple kill,godlike...

lyt87

我有一题不会。
int  1/(x^2)(sqrt (1+x^2)) dx

是substitution 吗？
我用u^2= x^2 +1 但 2 udu = 2x dx 时就 有问题了。。

~HeBe~_@

你的     int  1/(x^2)(sqrt (1+x^2)) dx
是这     int [1/(x^2)](sqrt (1+x^2)) dx
还是这   int  1/[(x^2)(sqrt (1+x^2))] dx   ？？

lyt87

int  1/[(x^2)(sqrt (1+x^2))] dx

~HeBe~_@

用trigonometry来substitute.

dunwan2tellu

原帖由 lyt87 于 24-9-2007 07:51 PM 发表
int  1/[(x^2)(sqrt (1+x^2))] dx

Method 1 :

1/[(x^2)(sqrt (1+x^2))]  = (1 + x^2 - x^2)/[(x^2)(sqrt (1+x^2))]
                                     = [sqrt(1+x^2) - x^2/sqrt(1+x^2)]/x^2
                                     = [ dx * sqrt(1+x^2) - d(sqrt(1+x^2)) * x]/x^2
                                     = -  d/dx [ sqrt(1+x^2)/x ]

=> int  1/[(x^2)(sqrt (1+x^2))] dx  = -sqrt(1+x^2)/x + C

Method 2 :

let x = tan u , dx = sec^2 u du

=> int { 1/[(tan^2 u) * sec u]  * sec^2 u du } = int (cos u/sin^2 u du)
= - 1/sin u + C
= ....

dunwan2tellu

在advanced calculus 里看到一题不错的 limit 题目

lim_{x->0+} x^(x^x-1) = ?    (他的 power 是 x^x - 1 )

~HeBe~_@

lim_{x->0+} x^(x^x)
就是indeterminate power type 0^0

lim_{x->0+} x^(x^x) = 1

但你的不是indeterminate power吧？
lim_{x->0+} x^(x^x-1) = ？
怎样做？

DADDY_MUMMY

1)Prove ∫ (sec x) ^n dx = [tan x (sec x) ^ (n -2)]/ (n – 1) +
                                     [(n – 2)/ (n – 1)] *∫ (sec x) ^ (n -2) dx

2)Prove ∫ [x^2 / (a^2 + x^2) ^n] dx
= 1/ (2n – 2) {[-x / (a^2 + x^2) ^ (n -1)] + [∫ dx/ (a^2 + x^2) ^ (n – 1)]}

3)∫ x [(cos x^2) ^3 – (sin x^2) ^3] dx =?

4)∫ [(cos x) ^ (2/3) / (sin x) ^ (8/3)] dx =?

5)∫ [(tan x) ^ (3/2) * (sec x) ^4] dx =?

6)∫ (cot x) ^3 dx =?

7)∫ [√(25 – x^2)]/x dx =?

TCLGT

1. ....
2. ....
3∫ x [(cos x^2) ^3 – (sin x^2) ^3] dx =1/2∫2x(cos x^2(1-sin^2x^2)-sin x^2(1-cos^2x^2))dx
                                                     =1/2∫2xcos x^2-2xcos x^2 sin^2x^2-2xsin x^2-2x sin x^2 cos^2x^2))dx
                                                     =1/2sin x^2 + (1/3)(cos^3 x^2) + cos x^2 + (1/3)(cos^3 x^2)

4.....
5)∫ [(tan x) ^ (3/2) * (sec x) ^4] dx = ∫ [(tan x) ^ (3/2) * (sec x) ^2((tanx)^2+1)]
                                                     =∫ [(tan x) ^ (7/2) (sec x )^2+ (tan x)^3/2(sec x)^2)
                                                     =(2/9)(tan x)^9/2+(2/5)(tan x)^5/2
6)∫ (cot x) ^3 dx =∫ (cot x((cosec x)^2-1) dx
                        =∫ (cot x(cosec x)^2-cot x dx
                        = (cot x)^2/2- ln sin x

7.....

DADDY_MUMMY

原帖由 TCLGT 于 25-1-2008 07:19 PM 发表
1. ....
2. ....
3∫ x [(cos x^2) ^3 – (sin x^2) ^3] dx =1/2∫2x(cos x^2(1-sin^2x^2)-sin x^2(1-cos^2x^2))dx
                                                     =1/2∫2xcos x^2-2xcos x^2 sin^2x^2-2 ...

不明白 ???
答案是 1/12 ( sin x^2 + cos x^2)(4 + sin 2x^2) + C

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 26-1-2008 12:55 PM 编辑 ]

DADDY_MUMMY

8) ∫ √ (x^2 + 4) dx

9) ∫ [√ (a^2 + x^2)]/x dx

10) ∫ (a^2 + x^2) ^ (-3/2) dx

11) ∫ x^2/√ (x^2 – 16) dx

12) ∫ 1/√(x^2 – 4x + 13) dx

13) ∫ 1/ (a^2 + x^2) ^2 dx

14) ∫ x (sin^-1) x dx

15) ∫ x (cos^-1) x dx

16) ∫ [2 + (tanθ) ^2 * (sec θ) ^2]/ [1 + (tanθ) ^3] dθ


[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 26-1-2008 01:11 PM 编辑 ]

~HeBe~_@

8)    ∫ √ (x^2 + 4) dx
   
      Let  u = √ x^2 + 4     =>    x = √(u^2 - 4)
          u^2 =  x^2 + 4
2u . du/dx = 2x   
            dx = (u/x)  du

Substitute in,

Therefore,
                      ∫  u^4 /√ (u^2 - 4)  du
                  = .....       (simplify into partial fraction)
                  = ∫  u^2  +  4  -  4/(u+2) +  4/(u -2)   du
                  = .....


9)    ∫ [√ (a^2 + x^2)]/x dx
   =  ∫  (a^2 + x^2) / x^2  dx  (simplify into partial fraction)
   = ∫  1 + a^2/ x^2   dx
   = x  -  a^2/ x  +  c


11)     ∫ x^2/√ (x^2 – 16) dx
      =  ∫ x^4  /  (x^2 – 16) dx
      =  ....    (simplify into partial fraction)
      = ...

DADDY_MUMMY

9)    ∫ [√ (a^2 + x^2)]/x dx
   =  ∫  (a^2 + x^2) / x^2 dx  (simplify into partial fraction)
   = ∫  1 + a^2/ x^2   dx
   = x  -  a^2/ x  +  c


11)     ∫ x^2/√ (x^2 – 16) dx
      =  ∫ x^4  /  (x^2 – 16) dx
      =  ....    (simplify into partial fraction)
      = ...

你的方法有问题

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 27-1-2008 11:15 AM 编辑 ]

DADDY_MUMMY

(√2)/2 不可能=(√ 2)^2/2^2
                     =2/4
                     =1/2