独中统考高数问题

mathlim

cos3x[cosx+cos3x]=0

cos3x = 0
3x = nπ +  π/2
x = nπ/3 +  π/6

cosx+cos3x = 0
2cos2xcosx = 0
cos2x = 0
2x = nπ +  π/2
x = nπ/2 +  π/4

cosx = 0
x = nπ +  π/2

答案一样呀！

VernGalaxy

原帖由 mathlim 于 30-9-2009 11:51 PM 发表
cos3x[cosx+cos3x]=0

cos3x = 0
3x = nπ +  π/2
x = nπ/3 +  π/6

cosx+cos3x = 0
2cos2xcosx = 0
cos2x = 0
2x = nπ +  π/2
x = nπ/2 +  π/4

cosx = 0
x = nπ +  π/2

答案一样呀！

cosine的general solution應該是x=2n*pi +/- arccos a不是嗎?
多了個2和正負號就不一樣了。。。

mathlim

cosx = 0 的一般解是 x = 2nπ ± π/2。
但这是两个式子 x = 2nπ + π/2 与 x = 2nπ - π/2。
{x | x = 2nπ ± π/2, x ∈Z} = {x | x = nπ + π/2, x ∈Z}
用 x = nπ + π/2 一个就够了！

mathlim

2. sin^2 (x) + sin^2 (2x)=sin^2 (3x)

answer:
2. 2n*pi/3+pi/6,  2n*pi/3-pi/6, n*pi/2

cos2x+cos4x-cos6x=-1

你做错了！
应该是cos2x + cos4x - cos6x = 1
2cos3xcosx = 1 + cos6x = 2cos²3x
cos3x (cosx - cos3x) = 0
cos3x = 0
3x = 2nπ ± π/2
x = 2nπ/3±π/6

cosx - cos3x = 0
2sin2xsinx = 0
sin2x = 0
2x = nπ
x = nπ/2

sinx = 0
x = nπ

但是 {x | x = nπ, x ∈Z} 包含于 {x | x = nπ/2, x ∈Z}，
所以解是 x = 2nπ/3±π/6, nπ/2。
答案也一样呀！
数学题往往一题多解，
何必要求答案的形式与标准答案一样。
只要答案是正确与简化的即可。

但是我不明白的是，
为什么两题用不同的公式。
第一题：
cos3x = 0
3x = nπ + π/2
x = nπ/3 + π/6


第二题：
cos3x = 0
3x = 2nπ ± π/2
x = 2nπ/3±π/6

[ 本帖最后由 mathlim 于 1-10-2009 10:15 AM 编辑 ]

VernGalaxy

多謝多謝～～不過我們老師好像沒有教過cosine的公式換成n*pi+pi/2的。。。記得這個只是在tangent的general sln看過。
上面兩題答案給的就是這樣。。。可能老師做的剛好順便/碰巧用到那個公式吧

你做错了！
应该是cos2x + cos4x - cos6x = 1
2cos3xcosx = 1 + cos6x = 2cos²3x
cos3x (cosx - cos3x) = 0
cos3x = 0
3x = 2nπ ± π/2
x = 2nπ/3±π/6

啊？我的方法：
(cos2x+1)/2 + (cos4x+1)/2 + （cos6x+1)/2=1
cos2x+cos4x+cos6x+3=2
cos2x+cos4x+cos6x=2-3=-1
有錯@@?

雖然我也不是那種一定要和答案一樣的，不過因為答案有差別，想要對照看看哪一種方法比較簡潔或者好做 。。。畢竟考試的時候后要快狠準，有多一點對策也是好的

話說我今天的數學考也死了。。。粗心錯了超多題
剛好有一題我也不知道怎么解，放上來分享一下。。。

summation [n=1 to 2009] (-1)^n*(n^2+n+1)/n!

還沒學過要怎么sum分母的階層= =竟然就出了出來。。。這題答案我也不知道，聽說好像是-1。

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 1-10-2009 12:57 PM 编辑 ]

mathlim

cos²x = (1 + cos2x)/2

sin²x = (1 - cos2x)/2

sin²x ≠ (1 + cos2x)/2

VernGalaxy

原來是說第二題，還以為是第一題@@抱歉沒看到

dunwan2tellu

summation [n=1 to 2009] (-1)^n*(n^2+n+1)/n!

尝试分开成两个expression, 一个分母 n!, 一个分母 (n-1)!

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 1-10-2009 10:15 PM 编辑 ]

gal0821

summation [n=1 to 2009] (-1)^n*(n^2+n+1)/n!

=>sum  (-1)^n *(n/(n-1)! +(n+1)/n!)
=-(n/(n-1)! +(n+1)/n!) +((n+1)/(n)! +(n+2)/(n+1)!)-....-((n+2008)/(n+2007)!+(n+2009)/(n+2008)!)     (n=1)
=-1/0!-2010/2009!
=-1-2010/2009!

问题就在于没有dunwan2tellu的提示，根本就想不到，dunwan2tellu怎样想到这个思路的？

Verngalaxy，今年通考？你什么学校的？出那么难的毕业考题？可以scan给我吗？我学校为了照护哪些成绩弱的，把毕业考做到很简单。

[ 本帖最后由 gal0821 于 2-10-2009 01:10 AM 编辑 ]

VernGalaxy

大大可否解釋這行：
=-(n/(n-1)! +(n+1)/n!) +((n+1)/(n)! +(n+2)/(n+1)!)-....-((n+2008)/(n+2007)!+(n+2009)/(n+2008)!)     (n=1)
是什么意思？看不懂

對啊。。。就超級擔心統考的。。。我是新山寬柔中學的學生。。。考題其實還好，只是老師們很喜歡鉆牛角尖，抓學生的粗心點，而且公式又很多，記不起來就不會做了。說難的只有這題真的很難咯。聽說每次畢業考都會有一題像這樣程度的難題，雖然分數沒占很多。。。

我家里沒有Scanner誒。。。而且我的考卷上都是我的草稿，亂到看不清楚題目了

mathlim

(n² + n + 1)/n!

= [n² + (n+1)]/n!

= n²/n! + (n+1)/n!

= n/(n-1)! + (n+1)/n!

dunwan2tellu

我只是尝试把它变成 telescoping series 也就是

Sum[k=1 to n] [ P(k) - P(k+1) ] = P(1) - P(n+1) 的格式

接着很自然就试试看把分子分开，看看能不能把分母分成有 g(n) 和 g(n+1) 的pattern

就如从题目可以看到 P(n) = (-1)^n * n/(n-1)!

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 3-10-2009 02:13 AM 编辑 ]

gal0821

The straight line 5x-y-a=0 touches the circle 3x^2+3y^2-2x+4y+h=0 at(p,-1), find the value of p+a.

选择题来的。但我做不到答案。

VernGalaxy

原帖由 gal0821 于 10-10-2009 10:42 AM 发表
The straight line 5x-y-a=0 touches the circle 3x^2+3y^2-2x+4y+h=0 at(p,-1), find the value of p+a.

选择题来的。但我做不到答案。

3x^2+3y^2-2x+4y+h=0
differentiate: 6x+6y*dy/dx-2+4*dy/dx=0
3x+3y*dy/dx-1+2*dy/dx=0
dy/dx=(1-3x)/(3y+2) -----gradient of circle

5x-y-a=0
y=5x-a
dy/dx=5 ----- gradient of line

so, 5=(1-3x)/(3y+2)
at(p,-1),
5=3p-1
p=2

as line 5x-y-a=0 passes through (p,-1),
so, 5p+1-a=0
when p=2, a=11

ans:p+a=13
不知道我做的對嗎？

[ 本帖最后由 VernGalaxy 于 10-10-2009 01:57 PM 编辑 ]

mathlim

The straight line 5x-y-a=0 touches the circle 3x^2+3y^2-2x+4y+h=0 at(p,-1), find the value of p+a.

3x² + 3y² - 2x + 4y + h = 0
圆心 (1/3, -2/3)
5x - y - a = 0 斜率为 5，
(-1 + 2/3)/(p - 1/3) = -1/5
p = 2
5p + 1 - a = 0
a = 11
∴ p + a = 2 + 11 = 13

gal0821

对了 答案有这个选项。
我把5x-y-a=0 及（p,-1)代入院内
再用delta=0找h,最后再解方程式找p
找到p=2/3

有什么错误？

还有一题
找 (10^x+10^-x)/(10^x-10^-x)的值域

mathlim

y = (10^x+10^-x)/(10^x-10^-x)
y = (10^2x + 1)/(10^2x - 1)
(10^2x)y – y = 10^2x + 1
(10^2x)(y – 1) = y + 1
10^2x = (y + 1)/(y – 1) > 0
∴ y ≤ -1 或 y > 1

gal0821

Find the equation of the hyperbola with asymptotes y=+-0.5x and the straight line 5x-6y-8=0 is a tangent of the hyperbola.
解析几何很烂，拜托mathlim了~

dunwan2tellu

Hyperbola equation : x²/a² - y²/b² = 1
asymptotes : y = + - b/a x

y = + - 0.5 x ==> Let  a = 2k , b = k.

=> x²/4k² - y²/k² = 1 .....(i)

5x-6y-8=0 is a tangent to (i)

=> x² - 4y² = 4k²  ==> [(6y+8)/5]² - 4y²  = 4k²
=> 16y²  - 24y - 16 + 25k²  = 0

B² - 4AC = 0  ==> .....   k = .....

mathlim

原帖由 gal0821 于 21-10-2009 11:02 AM 发表
Find the equation of the hyperbola with asymptotes y=+-0.5x and the straight line 5x-6y-8=0 is a tangent of the hyperbola.
解析几何很烂，拜托mathlim了~

既然都指名道姓了！
这一道题我还帮得上忙。

设所求双曲线方程式为x²/a² - y²/b² = 1。
由渐近线y = 0.5x的斜率为1/2得b/a = 1/2。
5x - 6y - 8 = 0
x = (6y + 8)/5与a = 2b代入x²/a² - y²/b² = 1整理得16y² - 24y + 25b² - 16 = 0。
因为5x - 6y - 8 = 0是x²/a² - y²/b² = 1的切线，所以△ = 0。
(-24)² - 4×16×(25b² - 16) = 0
b² = 1, a² = 4。
所以所求双曲线方程式为x²/4 - y² = 1。

你或许有疑问，为什么不设双曲线方程式为y²/a² - x²/b² = 1？
第一、如果你画渐近线和该切线，会发现所求双曲线是x²/a² - y²/b² = 1。
第二、如果你设双曲线是y²/a² - x²/b² = 1，你会求得a² = -1, b² = -4。
            这时候你得接受这个结果，代入整理后还是一样的。