omk 2008

dunwan2tellu

1.a2-a1=a3-a2=a4-a3=a5-a4=30
  a1,a2,a3,a4,a5 is prime
  a5<150
找 a1

这题有 2 个答案 a1 = 7 or a1 = 11

如果 没有限制 a5 < 150 , 而是限制 a1 < 100 的话，我发现到共有 3 副答案
另一副是 a1 = 37

mathlim

找 2(a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + ab + ac + bc) - n(a + b + c) 的通项吧！

joachim1

I got another way of solving using AM>=GM:
a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac + 6 >= 4( a + b + c )

multiply both sides by 2:
2( a^2 + b^2 + c^2 ) + 2( ab + bc + ac ) + 12 >= 8( a + b + c )
a^2 + b^2 + c^2 = ( a + b + c )^2 - 2( ab + bc + ac )
2( ab + bc + ac ) = ( a + b + c )^2 - a^2 + b^2 + c^2

rearrange:
( a^2 + b^2 + c^2 ) + ( a + b + c )^2 + 12 >= 8( a + b + c )
( a^2 + b^2 + c^2 ) + 3 + ( a + b + c )^2 + 9 >= 8( a + b + c )

therefore we only need to prove:
a^2 + b^2 + c^2 + 3 + ( a + b + c )^2 + 9 >= 8( a + b + c )

by using AM>=GM:
a^2 + 1 >= 2a
b^2 + 1 >= 2b
c^2 + 1 >= 2c

a^2 + b^2 + c^2 + 3 >= 2( a + b + c )
( a + b + c )^2 + 9 >= 6( a + b + c )

add up both inequalities we get what we wanted to prove

by the way, for the 3xxx question, I get answer 288...

[ 本帖最后由 joachim1 于 30-6-2008 10:42 PM 编辑 ]

hamilan911

楼上的，请问中文回复
论坛有提供中文输入法


我的做法是酱的
(a+b)^2 + 4 >= 2(a+b)
similarly
(b+c)^2 + 4 >= 2(b+c)
(a+c)^2 + 4 >= 2(a+c)
add up and divide by 2

至于3xxx的
有两个case
1. 两个3 （33_ _ , 3_3_, 3_ _3)
_ _的排法是9P2
所以是3x9P2

2.1个3（3xxy, 3xyx,3yxx)
xxy的排法是9!/2!
所以一样是3x9P2

两个case加起来是432个

joachim1

噢, 不好意思, 两个3的部分做错...

mathlim

原帖由 hamilan911 于 1-7-2008 01:20 AM 发表
至于3xxx的
有两个case
1. 两个3 （33_ _ , 3_3_, 3_ _3)
_ _的排法是9P2
所以是3x9P2

2.1个3（3xxy, 3xyx,3yxx)
xxy的排法是9!/2!
所以一样是3x9P2

两个case加起来是432个

排法是3!/2! = 3, 即xxy, xyx, yxx.
选法是9P2吧！
9P2 = 9!/7!

[ 本帖最后由 mathlim 于 2-7-2008 12:31 PM 编辑 ]

hamilan911

谢谢提醒，打错了

mathlim

8. f(2) = 7, f(x+2) ≤ f(x) + 2,  f(x+7) ≥ f(x) + 7, 求 f(2008).

f(4) ≤ f(2) + 2 = 9
f(6) ≤ f(4) + 2 ≤ 11
f(8) ≤ f(6) + 2 ≤ 13
...
...
f(2008) ≤ f(2006) + 2 ≤ 2013

f(0) ≥ f(2) - 2 = 5
f(-2) ≥ f(0) - 2 ≥ 3
f(-4) ≥ f(-2) - 2 ≥ 1
f(-6) ≥ f(-4) - 2 ≥ - 1
f(-8) ≥ f(-6) - 2 ≥ - 3
f(-1) ≥ f(-8) +7 ≥ 4
f(6) ≥ f(-1) + 7 ≥ 11
f(13) ≥ f(6) + 7 ≥ 18
...
...
f(2008) ≥ f(2001) - 2 ≥ 2013

∴ f(2008) = 2013

jinqwem

第六题.
(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)....(2^1024+1)+1
= ( 2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)....(2^1024+1)+1
= (2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)....(2^1024+1)+1
= ( 2^1024 -1) ( 2^1024 +1) +1
= 2 ^2048
所以答案是2^4.= 16

mathlim

原帖由 hamilan911 于 1-7-2008 01:20 AM 发表
(a+b)^2 + 4 >= 2(a+b)
similarly
(b+c)^2 + 4 >= 2(b+c)
(a+c)^2 + 4 >= 2(a+c)
add up and divide by 2

重新浏览欣赏，发现小错误。
应该是：
(a+b)^2 + 4 >= 4(a+b)
similarly
(b+c)^2 + 4 >= 4(b+c)
(a+c)^2 + 4 >= 4(a+c)

yw46

http://persama.org.my/index.php? ... id=37&Itemid=79

hamilan911

看过了
怀疑sulong的成绩到底有没有搞错

yw46

原帖由 hamilan911 于 8-11-2008 04:25 PM 发表
看过了
怀疑sulong的成绩到底有没有搞错

????????????????????

hamilan911

没有啦
我学弟,去年muda的冠军队,竟然颗粒无收
好像只错两题
其他人表现也是差不多
sanjungan kehormat都拿不到
好笑下

yw46

才九题??错两题很多咯??

hamilan911

九题错两题不会多啊,至少会有sanjungan kehormat

你得到什么奖啊?

mathlim

九题错两题是很厉害的了！
我对该主办单位非常的没有信心。
多年前，我的一个学生荣获个人组亚军。
但是主办单位把校名弄错，
所以我没有发现到。
因为我不熟悉学生的英文名，
所以我都是先找学校。
第二年证书寄来学校才知道，
还被校长责怪。
每次我都得打很多通电话，
才能够联络上主办单位。
主办单位告诉我，
他们无法补发证书，
必须等到翌年跟翌年的证书一起派发。
好不容易等了一年，
我又好不容易联络到主办单位，
他们竟然说这是去年理事会的错误，
理事会已改选换人，
不关他们的事了！
真的是Malaysia boleh!
今年我的学生获奖，
证书寄来了，是kosong的，
自己填参赛组别、校名、姓名。

mathlim

这个比赛的团体组只设三奖，
太少了吧！
还有团体赛获奖的学生，
即使成绩是最高分，
是不是也不可以获得个人组奖项？
什么赛制嘛！

yw46

原帖由 mathlim 于 10-11-2008 10:53 AM 发表
九题错两题是很厉害的了！
我对该主办单位非常的没有信心。
多年前，我的一个学生荣获个人组亚军。
但是主办单位把校名弄错，
所以我没有发现到。
因为我不熟悉学生的英文名，
所以我都是先找学校。
...

你的一个学生？？你几岁了？？

原帖由 mathlim 于 10-11-2008 10:57 AM 发表
这个比赛的团体组只设三奖，
太少了吧！
还有团体赛获奖的学生，
即使成绩是最高分，
是不是也不可以获得个人组奖项？
什么赛制嘛！

对对。。有一点问题的。。ZZZZZ

mathlim

讨厌！
问人家几岁！