大家都来解一解吧！有些题目蛮美的

chiaweiwoo1

1)一个直角三角形边长都是整数，证明30整除三边之积。

2)x/(x^2+x+1) = k, x^2/(x^4+x^2+1) = ?

3)证明：a^(p+4) 与 a^p 的个位数相同。

4)求一个最小的整数n,n是完全立方数,n的尾三数是8。

5)(47)^(37)^27 除7的余数是什麽?

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 19-5-2005 at 11:18 PM ]

kee020041

第二题：

x/(x^2+x+1) = k

(x^2+x+1)/x = 1/k

x + 1 + 1/x = 1/k
[x + 1/x] = -1 + 1/k -----------------(1)


x^2/(x^4+x^2+1) = y

1/y = (x^4+x^2+1)/x^2
    = x^2 + 1 + 1/x^2
    = [x + 1/x]^2 - 1
    = [-1 + 1/k]^2 -1
    = -2/k + 1/k^2
1/y = (-2k+1)/k^2

x^2/(x^4+x^2+1) = y = k^2/(1-2k)

[ Last edited by kee020041 on 18-5-2005 at 06:28 PM ]

kee020041

第五题：
37^27 mod 6 = (36 + 1) ^ 27 mod 6
            = 1^27 mod 6
            =1

(47)^[(37)^(27)] mod 7 = (47)^(6n+1) mod 7  -----n＝正整数
                       = (42 + 5)^(6n+1)mod 7
                       = 5＾(6n+1) mod 7
                       = 5^1 mod 7
                       = 5

bennywt

连number theory 你们也学了，这是form 6的课程，而且还是further math的。你们真得很棒！！

kee020041

问题１与问题４ 不明白！！！
问题１是不是：
a^2 + b^2 = c^2 , a,b,c都是整数,
证明 (axbxc) mod 30 = 0?

问题４
满足是n完全立方数和尾三数是8    ?不明白！
~~~~~~~~~~~~~~~~~  ~~~~~~~~~

chiaweiwoo1

对不起，我已修改了。问题1的意思是
a^2 + b^2 = c^2 , a,b,c都是整数,
证明 (axbxc) mod 30 = 0
请问一下，kee020041是中学的吗？是什麽学校的？

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 19-5-2005 at 11:26 PM ]

kee020041

chiaweiwoo1 于 19-5-2005 11:25 PM  说 :
对不起，我已修改了。问题1的意思是
a^2 + b^2 = c^2 , a,b,c都是整数,
证明 (axbxc) mod 30 = 0
请问一下，kee020041是中学的吗？是什麽学校的？

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 19-5-2005 at 11:26 PM ...

不好意识,我已是大学生了..

necrodome

question 4 is 8888, right?

dunwan2tellu

necrodome 于 26-5-2005 03:47 PM  说 :
question 4 is 8888, right?

8888   并 不 是 完 全 立 方 数

chiaweiwoo1

4)求一个最小的整数n,n是完全立方数,n的尾三数是8。

设 n=x^3,x=10k+2,
x^3 =  1000k^3+600k^2+120k+8
考虑n的十位数是8，所以要看120k....
所以设k = 5m+4
所以n^3 = .......+600(5m+4)^2+120(5m+4)+8
        =........+9600+600m+480+8
        =10088+600m
考虑n的百数是8，所以要看600m....
所以设m = 5p+3
所以k = 5(5p+3)+4=25p+19
所以x = 250p+192
因为要求一个最小的整数n，
所以n = 192^3

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 26-5-2005 at 11:07 PM ]

DeadCow

哈哈，以前我读f６也有读到。。那时候是新课程。。

觉得mod很有趣，但现在全忘了

dunwan2tellu

Question 1

Let three side of triangle be 2mn , m^2-n^2 , m^2+n^2

2mn(m^2-n^2)(m^2+n^2) = 2mn(m^4-n^4)

because  m^4 = 0 , 1 ( mod 3)    ,   m^4 = 0 , 1 (mod 5)

Hence , 2mn(m^4-n^4)  ( mod 3)
     (i) m^4 = 0 and n^4 = 0   ( mod3)
         get 2mn(m^4-n^4) = 0  ( mod 3)
     (ii)m^4 = 1 and n^4 = 1 ( mod 3)
         get 2mn(m^4-n^4) = 2mn(1-1) = 0 (mod 3)
     (ii)m^4 = 1 and n^4 = 0 ( mod 3)  
         get 2mn(m^4-n^4) = 2m(0)(1-0) = 0 (mod 3)
     (iii)m^4 = 1 and n^4 = 0 (mod 3)
         get 2mn(m^4-n^4)=2(0)(n)(1-0) = 0 (mod 3)

the result is same if mod5

And 2mn(m^4-n^4) = 0  ( mod 2)

Hence 2mn(m^4-n^4) = 0 (mod lcm(2,3,5))
                                 =0 (mod 30)

Any other suggestion ?

请尽量用中文。
佳礼有提供网上中文输入法。
谢谢 =)
多普勒效应上。

[ Last edited by 多普勒效应 on 2-6-2005 at 09:08 AM ]

hamilan911

第3题
设v(x)代表 x的末位数
  v(1^任何自然数) = 1    v(5^任何自然数) = 5  v(6^任何自然数) = 6     
  v(2^1)          = 2
  v(2^2)          = 4
  v(2^3)          = 8
  v(2^4)          = 6
  v(2^5)          = 2
每4次重复1遍
而 2，3，7，8  每4次重复1遍
   4，9        每2次重复1遍
由于只关系到末位数
所以 v(12^2)  =  v(2^2)  =  2
由此证明
     v(a^p+4)  =  v(a^p)

有没有别的方法？

ministar84

kee020041 于 18-5-2005 12:11 PM  说 :
第二题：

x/(x^2+x+1) = k

(x^2+x+1)/x = 1/k

x + 1 + 1/x = 1/k
[x + 1/x] = -1 + 1/k -----------------(1)


x^2/(x^4+x^2+1) = y

1/y = (x^4+x^2+1)/x^2
    = x^2 + 1 + 1/x^2
    = [x + ...

你把x/(x^2+x+1) = k换成(x^2+x+1)/x = 1/k。
那如果k=0呢？那不是不对了吗？

ministar84

我的做法是：
x^2/(x^4+x^2+1)=h
试(x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1
             =(x^4+x^2+1)+2x(x^2+x+1)

把x^2/(x^4+x^2+1)=h变成
x^2=h(x^4+x^2+1)
x^2=h[(x^2+x+1)^2-2x(x^2+x+1)]
k^2[(x^2+x+1)^2]=h[(x^2+x+1)^2-2x(x^2+x+1)]
因为x^2+x+1>0
所以k^2(x^2+x+1)=h[(x^2+x+1)-2x]
h=k^2/(1-2k)