■ 体积与表面积，面积与周长 ■

puangenlun

有实例支撑固然好

但是重点还是要理论证明

这个问题很值得深思！

mathlim

根据积分的意义是成立的。
把周长一层一层的累积，
从中心到边即得面积。

Ivanlsy

原帖由 mathlim 于 12-8-2008 11:20 AM 发表
正立方体的体积：V = (2a)³ = 8a³
正立方体的表面积：S = 6×(2a)² = 24a²
dV/da = 8×3a² = 24a² = S

正方形的面积：A = (2a)² = 4a²
正方形的周长：C = 4×2a = 8a
dA/da = 4×2a = 8a = C

我之前被這個問題困惑着：
當邊長為2a的時候，微分的結果與預測的符合。
可當邊長為a的時候，微分的結果卻十分怪異。
這是爲什麽呢？

邊長為a的正立方體：
V = [2(1/2)a]³ = a³
S = 6 × [2(1/2)a]² = 6a²

dV/da = 3a² ≠  6a²
這個問題與樓上的問題一樣。

最後搞懂了，原來錯誤出在dV/da。
mathlim的做法是正確的。

對於邊長為a的正立方體，應該是：
dV/[d(a/2)] = d(2 × a/2)³ / [d(a/2)]
                   = d[8 × (a/2)³] / [d(a/2)]
                   = 8 × 3(a/2)²
                   = 24(a²/4)
                   = 6a²
                   = S

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 13-2-2009 12:21 AM 编辑 ]

chingjun

其他的呢？？金字塔？？椭圆体？

mathlim

这些我都考虑过了！
问题是要找出它们的中心。
然后用这个中心去定义表面积与体积。