Mathlim 教室

mathlim

Mathlim 教室，
不是一个上课的地方。
而是我凭着本身对数学的热爱，
有很多东西要跟大家分享。
希望借此让大家对数学产生兴趣，
发现数学的神奇、奥妙和趣味。
若有错误或不足之处，
尚请各位提出意见。
谢谢！

mathlim

首先，要跟大家分享的是三角形的面积。
小学就知道，直角三角形的面积是：(底×高)/2
因为这个直角三角形的面积，
就是一个分别以直角三角形的底与高，
作为长与宽的矩形的面积的一半。
但是为什么任意三角形的面积，
也是 (底×高)/2 呢？
如何把一个任意三角形，
切割后重新组合成与它同底且等高的直角三角形呢？

tensaix2j

假设上面黄色的三角形是abc,  放一个点 d 在外面 让abd 变个大的直角三角形，abc在里面。
那么大的直角三角形 abd 减掉小的直角三角形 acd 剩下的面积就是那个黄色的部分 abc。
abc = abd - acd  

= 1/2 ( bd * ad ) - 1/2 ( cd * ad)
= 1/2 ad * ( bd - cd )
= 1/2 ad * ( bc )
= 1/2 * 高 * 脚宽

mathlim

如何把一个任意三角形，
切割后重新组合成与它同底且等高的直角三角形呢？

tensaix2j

刚看到一个跟三角有关的视频。。

mathlim

上个星期，我解一道澳洲数学赛题时，
发现一个很美丽的结果。
突然想到它似乎跟毕氏定理有关。
一路上我一直不断的思索，
终于整理出一番头绪。
回到家立刻动笔写下来。
我想这应该是毕氏定理（勾股定理），
堪称最美的证明之一。
取一边长分别为 a, b, c 的直角三角形。
其中 c 为斜边。
把这个三角形的三边分别乘上 a, b, c，
得到三个大小不同的相似三角形。
神奇的事情发生了，
这两个较小的三角形有一个公共边 ab，
将这两个小三角形沿公共边连起来，
它们竟然等于较大的那个三角形。
再比较大三角形的斜边得：c^2 = a^2 + b^2

puangenlun

赞叹!简洁又初等。

mathlim

① 将任意三角形，从半腰切割，重新组成一个平行四边形。
② 将平行四边形切割后重新组成一个矩形。
③ 将矩形切割后重新组成一个直角三角形。

50912cmea

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab
a^2 + b^2 = c^2

废人24yaj

???

mathlim

mathlim 发表于 10-5-2014 07:53 AM
① 将任意三角形，从半腰切割，重新组成一个平行四边形。
② 将平行四边形切割后重新组成一个矩形。
...

是不是每一个三角形，按照上述步骤，都做得到呢？

puangenlun

三角形有三种：
１。锐角三角形
２。直角三角形
３。钝角三角形

例子中的是第一种，直角三角形也包含在内，剩下第三种。

将钝角的对边划分，变成两个直角三角形，接下来再变成两个等高的长方形，合并成为一个长方形，完成！

mathlim

mathlim 发表于 10-5-2014 07:53 AM
① 将任意三角形，从半腰切割，重新组成一个平行四边形。
② 将平行四边形切割后重新组成一个矩形。
...

我的例子是钝角三角形。
如果是锐角三角形的话，
通过步骤一同样可得一个平行四边形。
我要证明的是它的面积，
等于与它同底且等高的直角三角形的面积。

puangenlun

我要证明的是它的面积，
等于与它同底且等高的直角三角形的面积。