如何確定一個自然數n可以表示為3個平方數之和？

屮O_O屮

　相信熟悉量子力學的人都應該聼過‘盒中粒子’問題吧？
　　
　　在3維的PIB（particle In a Box）問題, 若3個維度上的長度相等（a=b=c），則系統的能量與3個維度上的量子數n之平方的總和成正比
　　
　　如果，兩套不同的量子數平方之總和相等，則這兩個系統能量相等，也就是說這兩套系統是是簡併(degenerate)的
　　
　　從這裡我想到一個數論問題，那就是
　　
　　
　　1。如何確定一個自然數可以表示為三個平方數之和？

      n = a^2 + b^2 + c^2
　　
　　n,a,b,c皆自然數



　　
　　2。如何確定一個自然數可以表示為2套3個平方數之和？
　　
　　3。有沒有一套公式可以找出上述數字？？
　　
　　
　　
　　請高手解惑，感謝

mathlim

1。如何確定一個自然數可以表示為三個平方數之和？
n = a^2 + b^2 + c^2
n,a,b,c皆自然數

我想应该先解决如何確定一個自然數可以表示為两個平方數之和。
如果这个问题解决了，上述问题应该就自然的跟着解决了！
以下有我的一些研究，不妨参考：

华仁中学官方论坛 » 数学科 » 毕氏定理

dunwan2tellu

有一个定理

一个自然数 n 可以表示为3个整数 (包括 0) 的平方和 iff  n =/= 4^k * (8m + 7) 的 form .

比如 k = m = 0 时 ，n = 7 就没办法写成 sum of three square .
n = 8 时 ， n = 2^2 + 2^2 + 0^2

可以 google search < Lagrange's four-square theorem >  看看，因为
任何自然数 n 一定可以写成 sum of 4 integer's square

屮O_O屮

原帖由 dunwan2tellu 于 20-6-2008 01:28 PM 发表
有一个定理

一个自然数 n 可以表示为3个整数 (包括 0) 的平方和 iff  n =/= 4^k * (8m + 7) 的 form .

比如 k = m = 0 时 ，n = 7 就没办法写成 sum of three square .
n = 8 时 ， n = 2^2 + 2^2 + 0^2

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這個有趣，感激不盡