偶数和完整数一样多？一个疑问.......

光头

高中时因对数学有浓厚的兴趣，在翻书的过程中偶然看到一篇关于“希尔伯特酒店”的叙述。

“希尔伯特酒店有无限多个房间，每个房中都有客人。如今有同样数量的客人想住店，所以经营者使所有原房客移身到原房号2倍数的房间去，把号码为奇数的房间空出让新来的一批客人进住......”

这个东西最后的结论是：任意两个自然数的倍数都是一样多的。

尽管这是数学家们一致相信的真理，已经那么多年了，我对其它许许多多的理论都没疑问，独对这一套理论和相关的无穷数理论有意见。

以前曾在大学的数学版和人争辩“希尔伯特酒店”和“2的倍数和4的倍数数量不等同”的问题。

我的说法是：

1 ）在“希尔伯特酒店问题”中，原住户的2倍号房必然都已有人居住，所以无法移动。希尔伯特酒店的安排也因而无法成立。

2）2倍数的集合中完全包含4倍数的集合；4倍数集合中却不含2倍数的集合，所以2倍数比4倍数多。

所得回应是：
1）所有房客不能因二倍房有人而不移动。
2）对无穷集，这样的论证不一定成立。
不过那也不算是很能服人的理论，尤其是2。

也许吧！但多年后偶然间想到有一个问题：
在概率论中，事情发生的概率是特定集合的基数除以样本集合的基数。

如：投一个色子得“六点”的机会是集合{6}的基数1，除以样本集合{1，2，3，4，5，6}的基数6，答案是1/6的机会。

现在，显然在完整数中随机抽得2的倍数的机率是1/2。抽得4的倍数的机率是1/4，那么按“事情发生的概率是特定集合的基数除以样本集合的基数”的原理，2倍数集合的基数须是4倍数集合基数的1倍才能有这样的结果。

换言之，2的倍数较4的倍数多。

如果2的倍数和4的倍数一样多，那么抽中的机会应该是等同的。甚至，如果说4的倍数和1的倍数一样多，从完整数中抽到的每一个数都会是4的倍数，那是完全没道理的吧！

如果这论证法不能成立，那么，概率论的基本理论恐怕也不能成立了。

当然，我们可以说：“对无穷集而言，概率论的此一基本理不一定能成立”。可是这未免有欠公平——因为目前概率论的这一基本理已经圆满解释了从完整数中抽得2倍数的机率是1/2而抽得4倍数的机率是1/4的原因，
而我们却要牺牲它来满足其它说法。

多普勒效应

很有趣   谢谢分享!
相信每个人都有这个疑惑!

嗯, 提出一些自己的想法

先说关于概率的那个问题:
"事情发生的概率是特定集合的基数除以样本集合的基数" 的定义, 必须符合以下两个条件只适合应用于sample space是有限集, 而且此集里的"outcome"都必须是equally likely的. 所以这个例子并没使概率论失效.

概率论里有三个很重要的公设(Axiom),

第一条: 0 <= P(E) <= 1.
第二条: S是universal set, P(S) = 1
第三条是若 E1, E2, ... 是mutually exclusive events, 则 P(E1 u E2 u ...) = P(E1) + P(E2) + ...

如果"事情发生的概率是特定集合的基数除以样本集合的基数" 的定义不是定义finite sample space, 我们就会得到 P(S) > 1. 因而违反公设.

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另一个问题,
我们要怎样"数"一个集合里有多少个元素? 我们要怎样比较两个集合的大小??
对于"小"的集合, 我们可以轻易的算出来.
例如: A={1,2,3}, B={a,b}, 和直观的, A 比 B "大", 因为 n(A)=3, n(B)=2.
那对于那些很大的集合呢? 我们"数"不完他们了! 例如集合R (实数集) 和 Z (整数集). 我们无法直观的说 R 有无穷个元素, N 有"比无穷小一点点" 个元素.
这就引来了一个东西 - cardinality, 简单来说, cardinal number (简写c/n) 就是一个集的"元素数量". 那怎么两个集合"有同样多元素"? 数学家就定义:[ 给A, B两集合, 若存在一个一一对应的函数 f:A->B, 则我们说 A, B "有同样多元素", 记为 A~B ]
接着
例如, S={a,b,c}. 那 c/n of S 就是 3. 那问题来了, 我们怎样严谨的定义 S 有多少个元素?
令 I_n = {1, 2, 3, ..., n}. 定义: 若 S ~ I_n, 则 c/n of S 是 n.

[待续, 晚饭时间]

[ 本帖最后由 多普勒效应 于 9-2-2008 06:55 PM 编辑 ]

多普勒效应

定义:

1. 集合 S 是 finite set, 若 (i) S是空集 或 (ii) 存在正整数 n 使得 S~I_n.
2. 集合 S 是 infinite set, 若 S 不是 finite set.
3. 集合 S 是 countable, 若 S~N. 且记 c/n of S = "aleph naught"
4. 集合 S 是 uncountable 若 S 不是 countable.

这样定义就可以把问题变得清楚一些了,
令 S = {2, 4, 6, 8, 10, ...} <<< 偶数的集合
如果定义 f(x) = 0.5x, 我们就会得到一个从 S 到 N 的一一对应关系.
这样, 我们就可以不违反直观的得到"偶数和正整数一样多"的结果了.

2倍数的集合中完全包含4倍数的集合；4倍数集合中却不含2倍数的集合，所以2倍数比4倍数多。

关于这个, 真的是关于 finite set 和 infinite set 的概念.
Finite set 的子集不可以 "~" 它本身. i.e. 若 S 是 finite, R 是 S 的子集, 则 R ~/~ S.
可以 infinite set 的子集 可以 "~" 它本身.
当牵涉到"无穷"的东西, 就不是每次都可以用直观的方法去判断了.

[ 本帖最后由 多普勒效应 于 9-2-2008 06:49 PM 编辑 ]

多普勒效应

详见:
Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin 第二章.
   或
Analysis, Steven R. Lay p77.

A First Course in Probability, Sheldon Ross 第一章.

光头

很深奥！
是大学程度吧？小弟刚高中毕业，不是那么看得懂..........

不过我还蛮认同原创者的质疑的。

虽然是无穷，但是怎样都好，
1的倍数是无穷的话，
那么，2的倍数就是1的值域里无穷多的1/2。

这是小弟的看法，可以指教指教吗？
用比较简单的语法可以吗？我真的不是很看得懂............

光头

原创者的一些观点

只是表达个人对
"4的倍数和自然数一样多"或
"质数和自然数的数量一样多"
之类的说法不认同而已。==~

一般数学家的证法如下例：

试证"10倍数和1倍数一样多"

10-->1
20-->2
30-->3
40-->4
50-->5
......

因为左右两个集合的元素能有1—1完全对映，
所以两集合的基数相等。

但我认为这种说法是可疑的。
最起码，它的结果与概论的基本常识不符。

其实我还是相信无穷数的存在。

例如：ALEF SUB NOT 为元无穷数，无穷有无穷个層次等。

但对质数和自然数的量相同之类的说法却不能苟同。

象素数的数量和自然数相比之下基本上可以用一个被称为“素数定理的”的公式计出，

0到x之间的质数的密度=（1/ln x）

那么当x为无穷时，质数的密度趋近于0。换言之，按基本概率，自然数是质数的无穷倍之多。

但在随机抽样时，我们大概较少得到0的结果。
原因在于，我们所抽的数常常不夠大。

而质数的分布情况是——小数目时较密，大数目时则变稀疏。
举例如：象1-10之间的数就有4个质数{2、3、5、7}，竟占了百分之40。

象用质数和自然数比较的这种情况，我认为自然数仍是质数的无穷倍，只是它的抽样方法要讲究。因为任何抽样都不可能是无穷数，而是有限值的数。这时若做抽样，我们必须要代回前面的公式去计算。

另一方面，我一值对数学家康托尔所用的那个证明方式有意见，就是前面提到的那一个：

试证"10倍数和1倍数一样多"
10-->1
20-->2
30-->3
40-->4
50-->5
......

因为左右两个集合的元素能有1—1完全对映，
所以两集合的基数相等。

问题是，这样的对映可以是随心所欲的，我们都可以证得两者的数量有任意倍数的差别。举例如：
10-->10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
20-->20,21,22,23,24,25,26,27,28,29
30-->30,31,32,33,34,35...
40-->...


那么，1个10倍数对映10个1倍数，1倍数应是10倍数的10倍！！

换个方式，我们也可以说它是2倍、5倍、100倍、1001倍....

我个人的看法一直是——那样的证明没太大的意义，与其说在无穷的境界中我们的一般常识是可被质疑的，倒不如说，这一类的论证更可疑。

多普勒效应

问题就是在与, 一一对应函数的存在性, 不是在于"非一一对应函数"的存在性.

光头

偶数与完整数并非一一对应函数，那么就说明了这样的说法对吗？

多普勒效应

偶数与完整数 之间存在着一个一一对应的函数.
那就是 f: S -> N , f(x) = 0.5x

光头

这是偶数在

f: S -> N , f(x) = 0.5x

的定义下才会一一对应，
那么这也不能说明偶数和完整数是一样多。
n个偶数=0.5n个完整数。

多普勒效应

集合{1,2,3} 和集合 {a,b,c} 有一样多的元素, 因为他们之间有一一对应的关系.
(1 -> a, 2 -> b, 3 -> c).

集合 {2,4,6} 和集合 {1,2,3} 有一样多的元素, 因为他们之间有一一对应的关系.
(2 -> 1, 4 -> 2, 6 -> 3).
这个关系是 f(x) = 0.5x
这就否定了 f(x) = 0.5x => n个偶数=0.5n个完整数

光头

明白！谢谢解答！
所以要达到这个偶数和完整数一样多的情况，前提是要在这一个函数关系式里面。

shingrons

以前看过一些文章也是这么写，提到一一对应
也说若论无穷集，应该比较集势
记得那时还没接触太多理论，听到一头雾水的

puangenlun

简单来说，当数量有限的时候，我们可以算出来，做比较

当数量到达无穷的时候，那么很多东西会和想象中的不一样。

因为infinity+infinity=infinity，但是1+1=2，看出来了吗？

我无穷，你也无穷，我们谁比谁大？

如果我大，那么你的无穷就是假的，

如果你大，那么我的无穷就是假的，

但是我们都是无穷，所以我们是一样大的。

这就是无穷的奥秘！！

不要再用有穷的眼光来看无穷的事件。

mathlim

同样是无穷，但还是有不同等级的。

在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数(基数)，有不同的「无穷」。
这里比较不同的无穷的「大小」的时候唯一的办法就是通过是否可以建立「一一对应关系」来判断，而抛弃了欧几里德「整体大于部分」的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系,它们就具有相同的无穷基数。
例如，

• 可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0 ()。
• 比可数集合「大」的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同()。
• 由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。

puangenlun

这个就牵涉到著名的hilbert 23 problems 了

有没有数介于阿列夫到阿列夫0之间？？？

chingjun

嘿嘿。。
分享一点吧。。。
有理数和自然数一样多
自然数和整数一样多

惊讶吧？