为什么1+1=2 & 1X 0 = 0

oceanheng

我的数学老师问我们一个很课外的问题
那就是为什么1+1=2 & 1X 0 = 0
我们才中三他问这个...我们也只有静静
但我很好奇,为什么?

二级棒

。。。。。。无言
证明你是读死书


你有一个苹果， 我再给你一个， 你是不是有两个？

再来
1 X 0 就好象问你， 苹果 乘几粒， 乘 0 ， 就是一粒都没有咯

399288

很耐人寻味的题目下，，，


1乘于0等于0，

是蛮奇怪下的啦，一个苹果乘于0并不等于0啊，还有一个苹果嘛！！！

oceanheng

能不能不要用这样文字的例子
我老师说1X0=0是他考试时的题目噢
如果这么简单那么那次的所有考生不都PASS

distantstar

严格来讲，必须涉及到field的概念。

~HeBe~_@

你得涉及到利用field来prove它，
你可以在Real Analysis学到。。

kee020041

原帖由 二级棒 于 24-5-2009 05:34 PM 发表
。。。。。。无言
证明你是读死书


你有一个苹果， 我再给你一个， 你是不是有两个？

再来
1 X 0 就好象问你， 苹果 乘几粒， 乘 0 ， 就是一粒都没有咯

#2 的 二级棒，
你很“有料到”， 请问你现在读几年级？可以教教我你是怎样把书读活的吗？

~HeBe~_@

To prove 1X 0 = 0
Solution:

Prove that a.0 = 0
               x + 0 = x   for all x in real number
     =>      0 + 0 = 0
     =>   a . (0+0)=a.0
     =>   a.0 + a.0=a.0
     =>   a.0 + a.0 - a.0 = 0
     =>   a.0 = 0
By putting a = 1. 0 = 0

[ 本帖最后由 ~HeBe~_@ 于 27-5-2009 10:30 PM 编辑 ]

flash

原帖由 399288 于 24-5-2009 05:59 PM 发表
很耐人寻味的题目下，，，


1乘于0等于0，

是蛮奇怪下的啦，一个苹果乘于0并不等于0啊，还有一个苹果嘛！！！

换个角度来看，假设 a x b 是代表 a 个人有 b 粒苹果。所以 1 x 0 就是 1 个人有 0 粒苹果，所以总共还是 0 粒苹果。

铁蛋

中三的程度，如果用 ABSTRACT ALGEBRA 来讲，虽然是正确，但学生无法明白，就无法对数学提起兴趣。

给一个解释，有时候需要看当事人的程度，作出适当的调整。这种情况，还是给予一个比较有现实对照的说法比较好。

yaahoo

原帖由 ~HeBe~_@ 于 24-5-2009 11:12 PM 发表

               x + 0 = 0   for all x in real number
   

对吗？何谓0？要讲就从头讲起。
我相信许多学生会有兴趣，可是能否了解是另一回事。

~HeBe~_@

我应该打错了吧。。
我的印象中 是
x + 0 = x   for all x in real number

我real analysis的印象只有这些。。
若要更深入就要看书， 我现在也懒惰看，因为工作了心也开始。。
不然你为大家讲解一番吧？我相信学生会很有兴趣知道的。。^^

distantstar

^^既然现在假期得空了，我就尝试解释一下吧！

其实在大学的数学，很多时候跟中学的数学有很多的出入，最明显的就是在大学的数学科目中，我们都会先设下一些条件和假设，然后再从这些假设中利用逻辑推出一些定理。

好，那么我们现在来进入正题。
在我们的周围有很多的集合，相信大家都有听过吧！例子有：实数real number集合，虚数complex number集合，以或者是整数whole number集合，或者我们跳出比较‘数学’的框框，我们要‘自然界中的植物’这个集合。

好，单单只是集合，好像并没有什么讨论的价值。所以，数学家就会在一个集合里面定义一些binary operation.何谓binary operation?简单来说，binary operation只不过是一个关系relation,它是将一个集合里面的两个元素带到去同一个集合里面的另一个元素。例子如下：

我们现在考虑实数集合。然后我们日常生活中的加法就是一个关系。因为它能将集合里面的任何两个元素带到去同一个集合里面的另外一个元素，所以它就是一个binary operation.

相反的，如果我们现在考虑无理数集合，而我们要考虑的关系是我们平时的乘法。可是，这个关系并不是一个binary operation,因为这个关系会将集合里面的某两个元素带到去集合以外的一些东西。如 sqrt2 x sqrt  = 2, sqrt2是无理数，可是2却是一个有理数，2并不在无理数集合里面。

所以，一个关系并不一定是binary operation,而binary operation就一定是个关系。

distantstar

相信大家对实数集合的加法和乘法的性质都很熟悉吧！比如说，2+0 = 2， 1x0 = 0......etc.
那对于一般拥有两个binary operation的集合，在什么条件下上面的性质都会同样出现呢？为了将情况一般化到其它拥有两个binary operations的集合上，数学家就提出了field这个概念。所谓的field,并不是大家想想中的那么难，原来它只不过是一个拥有两个不同的operation,而且还满足一些条件的集合而已。如果一个集合是一个field,那么与实数集相似的性质都会一样在这个集合里面成立。

那么，到底0是什么？1是什么？大家还记得实数集里面具备了加法和乘法这两个binary operations 吗？其实，0只是加法这个binary operation的identity,而1则是乘法这个binary operation的identity.
那，identity又是什么？
假如说现在我们有一个具备一个binary operation的集合，这个binary operation我们可以类似加法这样给他一个符号，比如 *这个符号。
假如 e 这个元素是 * 这个binary operation的identity,那么对于所有任意在这个集合里面的元素，比方说 x, 当他跟e经过上述binary operation在左右‘发生关系’的时候，它们的产物一定是x 本身：
   e * x = x = x * e.

distantstar

现在，一个拥有两个binary operation的集合X，在什么条件下才能归为field呢？
它必须满足下列的条件：
（1）+ 是一个拥有identity, e(+) 的一个binary operation.
(2) 集合里面的每一个元素 x,在+这个binary operation之下，都存在另外一个元素y,使得 x + y = y + x = e(+)
(3) 当x,y, z是集合的元素是 x + (y + z) = (x + y) + z
(4) x + y = y + x (交换律）

(5) * 在 X - { e(+) } 这个集合里，是一个拥有identiy e(*)的binary operation.
(6) x * (y*z) = (x*y) * z
(7) x*y = y*x
(8) 当x在 X - { e(+) } 这个集合里，都存在 y belonging to X - { e(+) } such that x * y = y * x = e(*)

(9) x * (y + z) = (x*y) +( x*z)

当一个和集合满足以上条件的时候，这个集合就是一个field.
注意，以上的 +和*都只是binary operations的符号而已，它们不一定代表我们平时的加法和乘法。

distantstar

所以在一个field 里面，大家就可以推出以下重要的性质：

When a is an element of a field X, + denotes the additive binary operation (注意：从上述的条件，+ 和*满足的条件是有点差别的），* denotes the multiplicative binary operation, then we will have a * ( e(+) ) = e(+).

证明方法如下：

a * ( e(+) ) = a * ( e(+) + e(+) ) (我们利用了e(+)是identity of +的性质）      
                 = ( a * e(+) ) + ( a * e(+) ) (我们利用了条件（10）)
                 
现在我们会有以下性质：当 b = b + b时，b = e(+). 因为我们知道在这个field里一定存在 c in this field such that b + c = e(+)
所以：
b + c = (b + b) +c = b + (b + c) (用了条件（3）) = b + e(+) = b (因为e(+)是+的identity)
因此左边的 b + c = e(+) = b,所以 b = e(+)

因为之前我们证得
a * ( e(+) ) = ( a * e(+) ) + ( a * e(+) )，
再结合上面的结果，我们就会有
a * ( e(+) ) = e(+)

distantstar

所以，如果我们仔细验证field的条件，我们会发现实数集，在加法和乘法这两个binary operations之下，其实是一个field,有兴趣的网友可以尝试去仔细验证。
而我们平时的0,就是加法的identity, 每个元素x 的 -x,就会使得 x + (-x) = 0;
1就是乘法的identity,每个不为0的元素x,存在 1/x使得 x * (1/x) = 1.

因此，根据上面的结果，我们就会有 a* 0 = 0了。

yaahoo

难得！难得！
相信distantstar的代数老师一定很欣慰。当年学这个部分时可说是突然顿悟，刻骨铭心。原来负负得正等是可以这样看得
distantstar还在念书吗？

kim0215

我不是很明白
从那个e*开始
e是不是exponential?
*是不是乘？

distantstar

原帖由 yaahoo 于 28-5-2009 09:10 PM 发表
难得！难得！
相信distantstar的代数老师一定很欣慰。当年学这个部分时可说是突然顿悟，刻骨铭心。原来负负得正等是可以这样看得
distantstar还在念书吗？

对阿！还在念书。其实，以后蛮想往教育路线前进的。