几何问题

fritlizt

有个问题我做了很久还是得不到他的答案。

所以开个新贴，大家来帮个忙，看看能不能解决这个问题。





给任何凸边四角形，证：6> ABCD/IJKL >= 5.
已知 AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL。
E,F,G,H 分别是四个边的中心点。

我的翻译水准不好。我把英文的问题也写出来。


For any convex quadrilateral, prove: ABCD/IJKL is always greater than or equal to 5 and less and 6 where  AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL  and E,F,G,H are the midpoint for each segment.

[ Last edited by fritlizt on 22-7-2004 at 10:16 PM ]

pipi

fritlizt 于 22-7-2004 09:30 PM  说 :
给任何凸边四角形，证：6> ABCD/IJKL >= 5.
已知 AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL。
E,F,G,H 分别是四个边的中心点。

For any convex quadrilateral, prove: ABCD/IJKL is always greater than or equal to 5 and less and 6 where  AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL  and E,F,G,H are the midpoint for each segment.

ABCD 意思是 ABCD 的面积吗？？

fritlizt

对，ABCD AJF  BKG  CLH  DIE  IJKL 指的都是他们的面积。

pipi

我有个想法。。。
若能证明：
2< IJ/JF, JK/KG, KL/LH, LI/IE < 3
便可。。。
不过，以上的不等式是对的吗？？我还不晓得。。。

pipi

等一下。。。
我不敢断定，但我觉得题目有些问题。。。
请考虑以下情况：
ABCD 为边长 2 的正方形。那么它将满足
AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL （如你题目的。。。它们也代表面积）

我算到的 ABCD/IJKL < 5 ???

请检查！！！

fritlizt

我之前也有这个想法。不过经过电脑的一些运算过后，发现 IJ/JF, JK/KG, KL/LH, LI/IE 里，必有两个ratio 大过二，两个ratio 小过二。 如果四个ratio 都等于二， 那ABCD/IJKL 就等于五了。
所以  2< IJ/JF, JK/KG, KL/LH, LI/IE < 3  不成立。




还有，再加以补充一下， 本来的问题是ABCD/IJKL >= 5, 只是我无论用电怎么算也好，都没有一个情况下ABCD/IJKL >=6 ,除非ABCD形成一个三角形。

fritlizt

请考虑以下情况：
ABCD 为边长 2 的正方形。那么它将满足
AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL （如你题目的。。。它们也代表面积）




mmm......我检查了题目。题目没错。还有，
AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL 并不再只有ABCD 是正方形的情况之下才成立。
以被证，给任何凸边四角形(convex quadrilateral) AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL 。

pipi

咦。。。题目没错吗？？
我今天计算错误了。。。
请帮忙检查检查：
若如我的例子：
AJF ＝ BKG ＝ CLH ＝ DIE ＝ 1/2 * 1/2 * sqrt(3)/2
AJF + BKG + CLH + DIE = IJKL = sqrt(3)/2
Then ABCD/IJKL = 4/{sqrt(3)/2} ≈ 4.618802154 < 5
那里错了？？？

fritlizt

"AJF ＝ BKG ＝ CLH ＝ DIE ＝ 1/2 * 1/2 * sqrt(3)/2""

对不起，小弟不是很明白你是如何得到这个式子。

可以解释一下吗？

pipi

我们有 AF = 1
    ∠JAF = ∠BAG = pi/6
所以 AJ = cos(pi/6) = sqrt(3)/2
    ∠JFA = ∠BGA = pi/3
所以 JF = cos(pi/3) = 1/2

所以 AFJ = 1/2 * 1/2 * sqrt(3)/2

pipi 于 23-7-2004 03:10 PM  说 :
我们有 AF = 1
    ∠JAF = ∠BAG = pi/6
所以 AJ = cos(pi/6) = sqrt(3)/2
    ∠JFA = ∠BGA = pi/3
所以 JF = cos(pi/3) = 1/2

所以 AFJ = 1/2 * 1/2 * sqrt(3)/2

用回边长2的正方形：

角JAF好像不是PI/6...
角JFA也好像不是PI/3...

我算到tan(角JAF)是0.5

所以我算到AJ = 2/sqrt(5), JF = 1/sqrt(5)

所以JAF的面积是1/5.

因为有四个，所以是4/5。所以IJKL的面积是4/5。

所以ABCD/IJKL = 4/(4/5) = 5 (刚刚好)

(这是用边长2的正方形来验证，真正证明还不会做。。)

不知对吗？

[ Last edited by jwyong on 23-7-2004 at 05:54 PM ]

fritlizt

jwyong 于 23-7-2004 05:50 PM  说 :

.....
角JAF好像不是PI/6...
角JFA也好像不是PI/3...

我算到tan(角JAF)是0.5
........

m...对。角JAF是 arctan 0.5. = 26.56505118........degree.

给任何正方形，长方形及parallelogram , ABCD/IJKL 都是 5. 这都已被证明了。
只是给任何凸边四角形，要证明 ABCD/IJKL >=5.
这就有点问题了..........

pipi

哈哈。。。我傻掉了。。。
竟然犯出这样的错误。。。
一定是不够睡了！！！
paise... paise...

pipi

fritlizt 于 23-7-2004 07:04 PM  说 :
给任何正方形，长方形及parallelogram , ABCD/IJKL 都是 5. 这都已被证明了。

早上醒来时证明了这个。。。
（我用 vector 的方法。。。（当然，只需用平行四边形(parallelogram)便行。。。））

给任何凸边四角形，证明 ABCD/IJKL >=5.

这个还没有证到。。。

fritlizt

pipi 于 24-7-2004 11:57 AM  说 :

早上醒来时证明了这个。。。
（我用 vector 的方法。。。。。。））

啊，用vector 来证也是一个很好的方法啊。我使用cartesien coordinate system 来证明的。
过后我想用同样的方法来证 （给任何凸边四角形，证明 ABCD/IJKL >=5.），不过牵涉的algebra太多了。。。。做到头晕晕地 。。

pipi

以上的问题还没做到。。。

不过，讲到几何，又讲到凸边四角形，我朋友提出一个有趣的问题（也许独中生在初中时学过了。。。）
任意凸边四角形 ABCD,
取 AB 的中点（设 P ）
   BC 的中点（设 Q ）
   CD 的中点（设 R ）
   DA 的中点（设 S ）
试证：
(i)  PQRS 为平行四边形。
(ii) PQRS 的面积 与 ABCD 的面积 的比例 为 1:2

试试看。。。

pipi

我又想到一题几何题：

如上图，点P 与 点Q 分别在AB 与AD 上，使到
三角形 APQ 的周长 是 正方形 ABCD 的周长 的一半。
试证：
(i)  角 PCQ 不变
(ii) 角 PCQ ＝ 45 度

pipi

再来一题几何题：

如上图，点 M 是 任意三角形 ABC 里的任意一点。
过 点 M ， 画三条分别与 AB，BC 及 CA 平行的线。

S 代表面积。
试证：

fritlizt

pipi 于 28-7-2004 08:52 AM  说 :
以上的问题还没做到。。。

不过，讲到几何，又讲到凸边四角形，我朋友提出一个有趣的问题（也许独中生在初中时学过了。。。）
任意凸边四角形 ABCD,
取 AB 的中点（设 P ）
   BC 的中点（ ...

i)
三角形ABC ： P,Q 分别是AB,BC 的中心点，所以 PQ//AC ,
以同样的方法，SR//AC。
PQ// AC, SR//AC, 所以 PQ//SR. 再以同样的方法证出 SP//RQ.
PQ//SR, SP//RQ. so, PQRS 是一个平行四方形。


ii)
三角形ABC:
P,Q 分别是AB,BC 的中心点.
所以面积 LPQJ 的高( base) = 面积 PBQ 的高。
LPQJ 的底( height) = 面积 PBQ 的底
so : LPQJ = 2PBQ.
再以同样的方法证出， ISPK = 2ASP,LJRS = 2SRD,IKRQ = 2RQC
so: 2ASP + 2SRD + 2RQC + 2PBQ = 2PQRS
     ASP + SRD + RCQ + PBQ = PQRS
ABCD = ASP + SRD + RCQ + PBQ + PQRS
     = 2PQRS

[ Last edited by fritlizt on 1-8-2004 at 09:12 PM ]

pipi

fritlizt 于 1-8-2004 02:29 PM  说 :
i)
三角形ABC ： P,Q 分别是AB,BC 的中心点，所以 PQ//AC ,
以同样的方法，SR//AC。
PQ// AC, SR//AC, 所以 PQ//SR. 再以同 ...

就是这样。。。
另外两题，大家也来解一解它吧！！！