问题：三角函数

pipi

整理整理一下问过的问题:
（这些问题只用中学里学过的三角恒等式便行！）
（国中生在 FORM 6 会学到；独中生在高中学到）

试试证明：（当然不可用计算机）

1.
（已解）

2.
（第一题的一般化）
（已解）

3.
（已解）


4.
若A+B+C=180度。
(i)  求sinA + sinB + sinC 的最大值。（已解）
(ii) 求cosA + cosB + cosC 的最大值。（已解）

5.
（第三题的一般化）
（待解）

6.（sinchee 提供）
  （第五题(i)的一般化）
（待解）

7.
（待解）



（不管是 已解 或 待解 的题目，欢迎网友们多多支持！让大家分享你们的 idea
也欢迎你们提供好玩，有趣的问题   谢谢 ）

[ Last edited by pipi on 22-7-2004 at 08:09 AM ]

情~風

[数学比赛加分(118分) - + 18分]

[ Last edited by 微中子 on 25-7-2004 at 06:11 PM ]

湖俊

情~風

湖俊 于 3-6-2004 01:16 AM  说 :

吃蛇太多步...不好意思

pipi

之前我们证了

注意右手边的式子可写成如下：


现在我们试试将它一般化(generalized)。。。
试试证明：

情~風

pipi

不错的方法。
情~風，看来你玩数学玩到＂得心应手＂了。

其他网友，你们也可试试用其他方法。。。

pipi

现在，试试这题;
证明：（当然不可用计算机）

（多普勒效应 曾经在＂数学挑战！＂
  强         曾经在＂奥林比克＂ 及＂难题＂ 问过）

http://chinese.cari.com.my/myfor ... ghlight=&page=2
http://chinese.cari.com.my/myfor ... ge=1&highlight=
http://chinese.cari.com.my/myfor ... ge=1&highlight=
我尝试将它归纳在这里。

[ Last edited by pipi on 22-7-2004 at 07:56 AM ]

pipi

试试这题：
若A+B+C=180度。求sinA + sinB + sinC 的最大值。

梵谷

要怎样输入数学的符号,例如分数,surd,kuasa之类的符号???

铁蛋

pipi 于 8-6-2004 05:39 PM  说 :
试试这题：
若A+B+C=180度。求sinA + sinB + sinC 的最大值。

是 3√3 / 2 吗?

铁蛋

梵谷 于 8-6-2004 06:21 PM  说 :
要怎样输入数学的符号,例如分数,surd,kuasa之类的符号???

去置顶的＜＜常用符号＞＞， copy and paste.

pipi

铁蛋 于 8-6-2004 07:29 PM  说 :
[quote]若A+B+C=180度。求sinA + sinB + sinC 的最大值。

是 3√3 / 2 吗? [/quote]
没错！试证之。

铁蛋

设 A ≥ B ≥ C, 则 a ≥ b ≥ c

从 sine rule:

sin(A) / a + sin(B) / b + sin(C) / c = 3 sin(A) / a

sin(A) + (a/b) sin(B) + (a/c) sin (C) = 3 sin (A)

sin(A) + sin(B) + sin(C) + (a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C) = 3 sin(A)

sin(A) + sin(B) + sin(C) = 3sin(A) - [ (a/b -1)sin(A) + (a/c-1)sin(C) ]


要使左手边最大，就得使 (a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C) 最小. 而因 a ≥ b ≥ c,

故 a=b=c 以使 (a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C) = 0 (最小).  又因 A+B+C = Pi, 故 A=B=C=Pi/3. 代替入原式就得到答案了。

[ Last edited by 铁蛋 on 9-6-2004 at 08:00 PM ]

pipi

pipi 于 8-6-2004 05:39 PM  说 :
试试这题：
若A+B+C=180度。求sinA + sinB + sinC 的最大值。

那么
cosA + cosB + cosC 的最大值呢？

pipi

铁蛋 于 9-6-2004 11:37 AM  说 :

sin(A) + sin(B) + sin(C) = 3sin(A) - [ (a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C) ]


要使左手边最大，就得使 (a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C) 最小. 而因 a ≥ b ≥ c,

可能有点问题。。。因为当
(a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C)在变，sin(A) 也在变。

当(a/b -1)sin(B) + (a/c-1)sin(C) 最小，是不是会保证 左式的值最大？？

例子：x - y
x 可以是 2,7
y 可以是 1,2
不过假设当 x 是 7 时， y 是 2。
      但当 x 是 2 时， y 是 1。
那么 x - y 的最大值是 5, 而不是 1 (当 x 最小时)。。。

各位网友，欢迎讨论。。。

[ Last edited by pipi on 10-6-2004 at 07:31 AM ]

情~風

pipi 于 6-6-2004 01:51 PM  说 :
现在，试试这题;
证明：（当然不可用计算机）

（多普勒效应 曾经在＂数学挑战！＂
  强         曾经在＂奥林比克＂ 及＂难题＂ 问过 ...

pipi

情~風，我们又如何晓得
sin(18) = {sqrt(5)-1}/4 ??

我们的证明是不是可以不要用到它呢？？

[ Last edited by pipi on 10-6-2004 at 07:26 AM ]

pipi 于 9-6-2004 03:50 PM  说 :
情~風，我们又如何晓得
sin(18) = {sqrt(5)-1}/5 ??

我们的证明是不是可以不要用到它呢？？

首先 sin(18) = {sqrt(5)-1}/4

设    x=18,
     5x=90
     3x=90-2x
sin(3x)=sin(90-2x)
3sin(x)-4[sin(x)]^3=cos(2x)
3sin(x)-4[sin(x)]^3=1-2[sin(x)]^2
4[sin(x)]^3-2[sin(x)]^2-3sin(x)+1=0
[sin(x)-1]{ 4[sin(x)]^2+2sin(x)-1 }=0

已知 sin(x) 不是1， 且 sin(x)>0,
所以 sin(x) = {sqrt(5)-1}/4

pipi 于 6-6-2004 01:51 PM  说 :
现在，试试这题;
证明：（当然不可用计算机）

sin(Π/5)[cos(2Π/5) + cos(4Π/5)] = sin(Π/5) [2cos(3Π/5)cos(Π/5)]
                                 = cos(3Π/5)sin(2Π/5)
                                 = -cos(2Π/5)sin(2Π/5)
                                 = -1/2 sin(4Π/5)
                                 = -1/2 sin(Π/5)
[cos(2Π/5) + cos(4Π/5) = -1/2

[ Last edited by sinchee on 9-6-2004 at 06:35 PM ]