omk 2008

TCLGT

1.a2-a1=a3-a2=a4-a3=a5-a4=30
  a1,a2,a3,a4,a5 is prime
  a5<150
找 a1
2.简化 (1+n(n+1)(n+2)(n+3))^1/2
3.
4. 4 digit number, 3xxx, how many number tat got the digit tat repeat it self only exactly twice (like 3001, 3556, but not 3003, not 3000)
5.
6. 找S^(1/512) 如果，S=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)....(2^1024+1)+1
7.
8. f(2)=7
   f(x+2)<= f(x)+2
  f(x+7)>=f(x)+7
  找f(2008)
9. 1/p+1/q+1/qp=1/n
   p,q,是prime, n是positive integer,
找p,q,n

来来讨论

[ 本帖最后由 TCLGT 于 21-6-2008 10:11 PM 编辑 ]

TCLGT

刚才的是sulong组，有muda 和 bongsu的话欢迎来post

[ 本帖最后由 TCLGT 于 21-6-2008 02:00 PM 编辑 ]

谁是我？

第一题是AP，用T_n=a+(a-1)d
再分析一下，发现到a_1=7

2. 你是不是打错了？没（n+4)

3.144？？
4.忘记答案

第六题我算到怪怪的答案

第8题，最后一分钟算到9，可是不懂对不对

做到很糟糕，不懂有没有望拿奖

kenny56

1.7
2.n^2+3n+1
3.
4.432???
5
6.16
7.

1.
2.
3.p=2,q=3,n=1   
  p=3,q=2,n=1
还有其他解？

TCLGT

我打错了
paiseh..

最后一题的我觉得只有一个解而已吧。。
有错的话，请纠正下。

多普勒效应

(2) 应该是 |n^2 + 3n + 1| 吧.. 要绝对值的, 因为 n^2 + 3n + 1 不是always positive.
例如, (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 1 = -1.25  
只写 n^2 + 3n + 1 大概没有满分吧

谁是我？

我因为粗心,做错了第六题
难怪会做到答案怪怪的

第二部分的第三题怎样做?

谁是我？

原帖由 多普勒效应 于 21-6-2008 10:57 PM 发表
(2) 应该是 |n^2 + 3n + 1| 吧.. 要绝对值的, 因为 n^2 + 3n + 1 不是always positive.
例如, (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 1 = -1.25  
只写 n^2 + 3n + 1 大概没有满分吧

LOL.....就这样我又送给批改员几分

hamilan911

1,2,4,6都很简单，kenny56答对了

第8.
f(2008) > = 2002 + f(6)
又f(6) >= f(8) - 2
所以 f(2008) >= 2002 + f(8) - 2 = 2000 + f(8)
又f(8) >= f(10) - 2
以此类推
会得到 f(2008) >= 1992 + f(16)
又f(16) >= f(9) + 7 >= f(2) + 14 ie f(16) >= 21
所以 f(2008) >= 2013     -（1）

另一边厢，显然f(2008) =< f(2) + 2006 ie f(2008) =< 2013    -（2）

综合（1）和（2），f(2008) = 2013

第9
显然  p=3, q=2, n=1 和p=2,q=3,n=1是两副可以找到的答案

(p+q+1) / pq = 1/n
设p>q
然后要证明除非q=2,不然无解

因为p,q都是质数，所以除非q=2,不然q+1并不会等于p
所以 （p+q+1）/pq并不能被约掉
既然不能被约掉，LHS的分母会是pq,分子是p+q+1
因为n是integer,所以要使等式成立，则n=pq
但是LHS的分子是（p+q+1) > RHS的分子 （1）-证毕
所以只有那两副答案

hamilan911

第9题比较standard的解释

n(p+q+1) = pq    -(A)
设p>q
要证明当q>2，(A)无解

首先得证明gcd(p+q+1,pq)=1
显然p+1 > q, 且当q > 2, q+1 =/= p
所以 gcd (p+q+1,pq) = 1

n = pq，但是p+q+1 > 1，冲突  -证毕

所以只有当p,q=2，才会有解
(p,q,n) = (2,3,1) , (3,2,1)

lawrenceleong88

哈哈师父你终于出手了！我们今年好象组别赛希望不大。。。毓康说他粗心了几题。。。看来我们的常年杯不保了。。。可是智俊就应该有望得奖吧！嘻嘻！日新日新又日新！

hamilan911

今年sulong没有inequality,muda反而有

If a,b,c are all real numbers,
Prove that
a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc + 6 >= 4(a + b + c)

不难

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 25-6-2008 11:40 AM 发表
今年sulong没有inequality,muda反而有

If a,b,c are all real numbers,
Prove that
a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc + 6 >= 4(a + b + c)

不难

可以尝试写成 x^2 + y^2 + z^2 的 pattern , 那么他们肯定 >= 0 ,只要留意到 equality case 是 a=b=c=1 应该不难下手

mathlim

原帖由 hamilan911 于 25-6-2008 11:40 AM 发表
今年sulong没有inequality,muda反而有
If a,b,c are all real numbers,
Prove that
a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc + 6 >= 4(a + b + c)
不难

∵ (a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + ab + ac + bc + 6) - 4(a + b + c)
= 0.5×[2(a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + ab + ac + bc + 6) - 8(a + b + c)]
= 0.5×(2a&sup2; + 2b&sup2; + 2c&sup2; + 2ab + 2ac + 2bc + 12 - 8a - 8b - 8c)
= 0.5×[(a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 2ab + 2ac + 2bc) + a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 12 - 8a - 8b - 8c]
= 0.5×[(a + b + c)&sup2; + a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 12 - 8a - 8b - 8c]
= 0.5×[(a + b + c)&sup2; - 6(a + b + c) + 9 + (a&sup2; - 2a + 1) + (b&sup2; - 2b + 1) + (c&sup2; - 2c + 1)]
= 0.5×[(a + b + c - 3)&sup2; + (a - 1)&sup2; + (b - 1)&sup2; + (c - 1)&sup2;] ≥ 0

∴ (a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + ab + ac + bc + 6) ≥ 4(a + b + c)

[ 本帖最后由 mathlim 于 26-6-2008 12:32 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

很厉害的 observation 啊! mathlim

我看到的是那个 inequality 相等于 (a+b-2)^2 + (a+c-2)^2 + (b+c-2)^2 >= 0

mathlim

有意思！我也没有想到你的配法。
你的观察力也是不错哦！

mathlim

昨晚，想到一个题目，躺在床上想，一早起来研究了一下，与大家分享：

设 S = (a + b + c - 2)&sup2; + (a - 1)&sup2; + (b - 1)&sup2; + (c - 1)&sup2;
研究一番，发现最小值是1/4。
如果按照dunwan2tellu的配法，得
S = (a+b-3/2)&sup2; + (a+c-3/2)&sup2; + (b+c-3/2)&sup2; + 1/4
最小值显而易见。
接着，我也发现到按照我的配法也可得
S = (a + b + c - 9/4)&sup2; + (a - 3/4)&sup2; + (b - 3/4)&sup2; + (c - 3/4)&sup2; + 1/4
同样的，
可得当 a = b = c = 3/4, Smin = 1/4。

distantstar

感觉上第9题蛮有趣，所以尝试解答：

1/p + 1/q + 1/pq = 1/n
p+q+1 = pq/n

Since p, q are primes, hence n = 1, p, q or pq as p+q+1 is integer.

From some obvius argument, n must equal to 1. Therfore, we get
p+q+1 = pq
(p-1)(q-1)=2
and the only possible solution is (p,q) = (2,3) or (3.2).

mathlim

原帖由 distantstar 于 26-6-2008 07:51 AM 发表
感觉上第9题蛮有趣，所以尝试解答：

1/p + 1/q + 1/pq = 1/n
p+q+1 = pq/n

Since p, q are primes, hence n = 1, p, q or pq as p+q+1 is integer.

From some obvius argument, n must equal to 1. Therfore, we get
p+q+1 = pq
(p-1)(q-1)=2
and the only possible solution is (p,q) = (2,3) or (3.2).

做得好。我想补充一下：
(p-1)(q-1) = 2
p - 1 = 2/(q - 1)
q - 1 = 1, 2
q = 2, 3

dunwan2tellu

原帖由 mathlim 于 26-6-2008 07:48 AM 发表
昨晚，想到一个题目，躺在床上想，一早起来研究了一下，与大家分享：

设 S = (a + b + c - 2)&sup2; + (a - 1)&sup2; + (b - 1)&sup2; + (c - 1)&sup2;
研究一番，发现最小值是1/4。
如果按照dunwan2tellu的配法 ...

呵呵，运用你的发现，我发现到

如果 S = (a+b+c-2007)&sup2;+(a-1)&sup2;+(b-1)&sup2;+(c-1)&sup2;
那么 最小值 = 2004&sup2;/4 = 1004004 ， 当 a = b = c = 502

而且我的 factorise 得到 S = (a+b-1004)&sup2; + (a+c-1004)&sup2; + (b+c-1004)&sup2; + 1004004

你的 factorise 方法则可以得到 S = (a+b+c-1506)&sup2; + (a-502)&sup2; + (b-502)&sup2; + (c-502)&sup2; + 1004004

几漂亮下

你找得到这个不等式的 通项 吗？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 26-6-2008 01:43 PM 编辑 ]