One to One

lavendar_o5

如果题目要求证明y = 1 / x^2 (R --> R) 并不是One to One, 请问如何表达呢？

dunwan2tellu

一个 Function f:[a,b]->R is one to one

<==>

f(x) = f(y) ==> x = y , for all x,y in [a,b]

如何证明 f:R\{0}->R ,f(x) = 1/x^2 不是 one to one ?

那我们就要证明 f(x) = f(y) 不能 implies x = y

从 f(x) = f(y) => 1/x^2 = 1/y^2 ,  x,y =/= 0

=> 1/x^2 - 1/y^2 = 0

=> (y^2 - x^2)/(xy)^2 = 0

=> (y-x)(y+x) = 0

=> x=y OR x=-y

结论出来了得到的是 f(x) = f(y) ==> x=y or x=-y , 所以不可能是 one to one


不然再容易一点就是给一个 example ,show 不只一个 value of x satisfy

f(x) = a

example : f(1) = 1 , f(-1) = 1 所以它不是 one to one

lavendar_o5

原帖由 dunwan2tellu 于 23-10-2007 07:15 PM 发表
一个 Function f:[a,b]->R is one to one



f(x) = f(y) ==> x = y , for all x,y in [a,b]

如何证明 f:R\{0}->R ,f(x) = 1/x^2 不是 one to one ?

那我们就要证明 f(x) = f(y) 不能 implies x = y ...

太感谢您了！

lavendar_o5

如果是f(x) = x / (x^2 + 1 ) 呢？我算到x = y OR x = 1 / y，但从graph看来，它是one to one....

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 24-10-2007 10:33 AM 发表
如果是f(x) = x / (x^2 + 1 ) 呢？我算到x = y OR x = 1 / y，但从graph看来，它是one to one....

f(1/2) = (1/2)/(1/4+1) = 2/5

f(2) = 2/5

=> f(1/2) = f(2)

所以它不是 one to one .

要从 graph 看的话，就画 horizontal line ,看他是不是每次都只经过一个点。如果是的话他就是 one to one ,否则的话就不是

lavendar_o5

原帖由 dunwan2tellu 于 24-10-2007 12:02 PM 发表


f(1/2) = (1/2)/(1/4+1) = 2/5

f(2) = 2/5

=> f(1/2) = f(2)

所以它不是 one to one .

要从 graph 看的话，就画 horizontal line ,看他是不是每次都只经过一个点。如果是的话他就是 one to one ...

谢谢您　！