数学训练（十月份）

fritlizt

38女 于 15-10-2004 11:41 AM  说 :
14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
          若 AB 与 CD 交点为 P 。
          求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。
           （待解）
...

嗯。。。。你只能证到 AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 = AC^2 + DB ^2
恒为某定值意思是constant. 当在不一样的radius之下， 这个constant的值会不一样。
我看到答案了，不过还证不到。：（
AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 会等于 4r^2

灰羊

15/10/2004，星期五
高中(B26) 若 　　a^3 + b^3 = 2.
          求证 　a + b ≤ 2. （待解）
================================================

a^3 + b^3 = 2
(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2≧2ab
∴(a^2+b^2-ab) > 0

=> (a+b) ≦ 2 (等號成立僅當a=b=1)

[ Last edited by 灰羊 on 15-10-2004 at 08:44 PM ]

灰羊

38女 于 15-10-2004 11:41 AM  说 :
14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
          若 AB 与 CD 交点为 P 。
          求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。
           （待解）
...

我試過用軟體畫圖
發現AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2真的恆等於某個值
(我已經把線拉來拉去了....)

38女 于 15-10-2004 11:41  说 :
14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
          若 AB 与 CD 交点为 P 。
          求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。
           （待解）
...

设AP＞PB，PD＞PC，且圆O的半径为r
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，又AB⊥CD，
则OE＝PF，OF＝PE，
且AE＝BE，DF＝CF
故AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2
＝(AE＋EP)^2 + (BE－EP)^2 + (CF－PF)^2 + (DF＋PF)^2
＝AE^2 + EP^2 + BE^2 + EP^2 ＋CF^2 + PF^2 + DF^2 + PF^2
＝2(AE^2＋OE^2)＋2(DF^2＋OF^2)
＝2OA^2＋2OD^2＝4r^2

灰羊 于 15-10-2004 20:42  说 :
15/10/2004，星期五
高中(B26) 若 　　a^3 + b^3 = 2.
          求证 　a + b ≤ 2. （待解）
================================================

a^3 + b^3 = 2
(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2≧2ab
∴ ...

好像有點瑕疵
如果採用您的方法證明
似乎應該證明a^2+b^2-ab≧1
方可得出a + b ≤ 2

灰羊

灰羊 于 15-10-2004 08:42 PM  说 :
15/10/2004，星期五
高中(B26) 若 　　a^3 + b^3 = 2.
          求证 　a + b ≤ 2. （待解）
================================================

a^3 + b^3 = 2
(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2≧2ab
∴ ...

a^2+b^2≧2ab
證明:
(a-b)^2≧0
a^2+b^2-2ab≧0
∴a^2+b^2≧2ab
算幾不等式的推廣

多普勒效应

灰羊 于 15-10-2004 08:42 PM  说 :
∵a^2+b^2≧2ab
∴(a^2+b^2-ab) > 0
...

a^2+b^2≧2ab
∴(a^2+b^2-ab) > ab

a,b >0 meh??
作么 (a^2+b^2-ab)>0

灰羊

看來要說明一下...

當a,b≧0時,
a^3 + b^3 = 2
(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2≧2ab
∴(a^2+b^2-ab)＞0
=> (a+b) ≦ 2 (等號成立僅當a=b=1)

當a(或b)＜0時,
令a=-c (c＞0)
則b^3=2+c^3
=> b^3≦2
=> (a+b) ≦ 2

當a,b＜0時,
a^3+b^3=2不可能出現

但這樣囉唆多了...

『當a,b≧0時,
a^3 + b^3 = 2
(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2≧2ab
∴(a^2+b^2-ab)＞0
=> (a+b) ≦ 2 (等號成立僅當a=b=1)』

To灰羊先進：
還是老問題
當(a+b)(a^2+b^2-ab)=2，且(a^2+b^2-ab)＞0時
並無法推得(a+b) ≦ 2
反例：4×1/2＝2，其中1/2＞0，但4＞2

多普勒效应

∴(a^2+b^2-ab)＞0
=> (a+b) ≦ 2 (等號成立僅當a=b=1)

這兩行有問題。

灰羊

三角的


不等式的

a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2-ab=(a-b)^2+ab
得當a=b,a^2+b^2-ab有最小值ab
∵a^3+b^3=2,a=b,只有唯一解(1,1)
∴a^2+b^2-ab的最小值ab為1 => (a^2+b^2-ab)≧1
=> (a+b) ≦ 2

這樣夠完整了嗎?

[ Last edited by 灰羊 on 17-10-2004 at 04:35 PM ]

灰羊

17/10/2004，星期日
大专(C9) 求证：


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灰羊

14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
          若 AB 与 CD 交点为 P 。
          求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。


==============================================================================
三角函數真的很好玩
對了pipi大大,怎麼沒有一些微積分的題目呢?
我還沒學可是想看看你們的解法^^



[ Last edited by 灰羊 on 17-10-2004 at 03:42 PM ]

多普勒效应

17/10/2004，星期日
大专(C9)

用归纳法
当 x=1，左式＝右式＝cos x


依据数学归纳法，命题对于所有 x = 1,2,3..... 都成立。

[ Last edited by 多普勒效应 on 19-10-2004 at 03:33 PM ]

若a^3 + b^3 = 2. 求證a + b ≤ 2.

設a＋b＝k，其中k≠0（若k＝0，則a^3 + b^3＝0，與已知矛盾）
則a＝k－b，代入a^3 + b^3 = 2.
化簡得3k(b^2)－3(k^2)b＋(k^3－2)＝0
∵k為實數
∴判別式＝﹝－3(k^2)﹞^2－4×(b^2)×(k^3－2)≧0
化簡得k(k－2)(k^2＋2k＋4)≦0
∵k^2＋2k＋4＝(k＋1)^2＋3＞0
∴k(k－2) ≦0，又k≠0
則0＜k≤ 2.
故本題得證

灰羊

a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2-ab=(a-b)^2+ab
得當a=b,a^2+b^2-ab有最小值ab
∵a^3+b^3=2,a=b,只有唯一解(1,1)
∴a^2+b^2-ab的最小值ab為1 => (a^2+b^2-ab)≧1
=> (a+b) ≦ 2
==============================================
我的應該也可以算對吧...
不過我覺得你的比較好

pipi

你的解法很漂亮！！
但是我想 θ 应该是角 ABD 才对！！


p/s: 这几天都没有时间上网。。。许多贴子的做法得检查。。。

pipi

给灰羊：

请小心，别粗心大意！！

pipi

灰羊 于 17-10-2004 05:57 PM  说 :
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
∵a^2+b^2-ab=(a-b)^2+ab
得當a=b,a^2+b^2-ab有最小值ab
∵a^3+b^3=2,a=b,只有唯一解(1,1)
∴a^2+b^2-ab的最小值ab為1 => (a^2+b^2-ab)≧1
=> (a+b) ≦ 2

∵a^2+b^2-ab=(a-b)^2+ab
得當a=b,a^2+b^2-ab有最小值ab
请检查！！这两行有问题！！

灰羊

銳角不包含0度和90度嗎???


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[ Last edited by 灰羊 on 18-10-2004 at 08:44 PM ]