佳礼资讯网

 找回密码
 注册

ADVERTISEMENT

楼主: pipi

数学训练~每日一题

[复制链接]
jwyong 该用户已被删除
发表于 19-8-2004 12:06 AM | 显示全部楼层
初中的同学没学到归纳法喔 (Mathematical Induction)...

可以在这里预学...
回复

使用道具 举报


ADVERTISEMENT

发表于 19-8-2004 12:09 AM | 显示全部楼层
jwyong 于 19-8-2004 00:06  说 :
初中的同学没学到归纳法喔 (Mathematical Induction)...

可以在这里预学...



呵呵,没关系的。可以先学。本人的学校有数学强化班,那些初中二开始都已经学了数学归纳法了。
回复

使用道具 举报

发表于 19-8-2004 12:11 AM | 显示全部楼层
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2=n/2(2n+1)(n+1)

如 果 n=1, 2n+1=3
      n=2, 2+1=3
      n=3, 3/2(3+1)=6

所 以 当 n=1, 4, 7。 。 。 。 , 2n+1都 可 以 被 3除

      当 n 是 复 数 或 是 gandaan 3时 ,n /2 or n+1 or n/2(n+1)都 可 以 被 3除
回复

使用道具 举报

发表于 19-8-2004 09:01 AM | 显示全部楼层
pipi 于 18-8-2004 05:56 PM  说 :


强,n 为自然数。。。(我有回答到你的问题吗?)



paise..

一时弄错加法。。。

题目没问题
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 19-8-2004 10:00 AM | 显示全部楼层
对于这一题:
若 n 为自然数,求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

目前有以下的解答:
Leong_hikaru 于 18-8-2004 10:37 PM  说 :
答案:n=9

er... 我们要"证明"一道数学题,不是求 n 的值!
所以,请再试试!!

fritlizt 于 18-8-2004 10:48 PM  说 :
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 = (2n^3+3(n^2)+n)/2
2n^3+3(n^2)+n 肯定是偶数。 所以只要考虑 2n^3+3(n^2)+n 即可。3(n^2)肯定能被三整除。
...

fritlizt 网友的做法没错!不过长了些!
(有其他"短"的方法!)
chwk87 于 19-8-2004 12:11 AM  说 :
如 果 n=1, 2n+1=3
      n=2, 2+1=3
      n=3, 3/2(3+1)=6
所 以 当 n=1, 4, 7。 。 。 。 , 2n+1都 可 以 被 3除
      当 n 是 复 数 或 是 gandaan 3时 ...


chwk87网友的想法与fritlizt 网友一样,不过做"证明题"不可以单靠例子,因为这是不足够的!!
另外,"复数"不是"gandaan"的意思!
"复数"是 complex number.

辉文 于 18-8-2004 11:29 PM  说 :
用数学归纳法也可以证明


也可以啦,不过。。。杀鸡焉用牛刀!
用初中的方法,就可以了!
辉文 于 18-8-2004 11:29 PM  说 :
当n=k+1时, (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(k+1)^2 +(k+1)+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时,命题也成立。


辉文兄,如何得到这个结论??

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:06 PM ]
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 19-8-2004 02:16 PM | 显示全部楼层
今天第一天高中的题目,应该不算太难吧!
请多多支持!!
已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b),
求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c)


至于上一题
若 n 为自然数,求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

过两天,我再贴上我的解答!
还望大家不要吝啬给出解答,请"慷慨解囊"!!
回复

使用道具 举报

Follow Us
发表于 19-8-2004 02:21 PM | 显示全部楼层
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
=n/2(2n^2+3n+1)
=n/2(2n+1)(n+1)
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给8除,又是三个连续号码。

所以..
回复

使用道具 举报

发表于 19-8-2004 03:00 PM | 显示全部楼层

19/08/2004,星期四的题目

先做这题:
已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b),
求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c)



我用比较笨的办法,因为我想从(y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)那里开始寻找x,z的值,因此我引用三元一次方程式,即:

x(b+c) + y(c-a) - z(a+b)=0   ---(1)
x(c-b) + y(a+c) - z(a+b)=0   ---(2)
-x(b+c) + y(a+c) + z(a-b)=0 ----(3)


(1) + (3) 得到  2cy-2bz=0
所以                 z= cy/b

(1) - (2) 得到  2bx-2ay=0
所以                 x = ay/b

好了, 现在把 x, z 代人式子(x+2y-3z)/(4x+5y-6z),即:

= _a/b + 2 -3(c/b)_
  4(a/b)+ 5 - 6(c/b)
注意,y已经去掉了,还有同分母去掉 B,就可以证明等於右边的式子

= _(a+2b-3c)_
  (4a+5b-6c)
(已证)

由於无法在这里表达分母,可能会不清楚,因此我附上图画让大家明白:



[ Last edited by 辉文 on 20-8-2004 at 12:40 PM ]
回复

使用道具 举报


ADVERTISEMENT

发表于 19-8-2004 03:16 PM | 显示全部楼层
当n=k+1时, (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(k+1)^2 +(k+1)+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时,命题也成立。


pipi网友,数学归纳法的证明是这样的,从0开始判定式子,然后再假设任何一个值,我称为k,其实chwk87方法与我用归纳法方法一样,只不过那n是K+1。如果n是整数的话,我们可以从0开始,证明到K就行了,不必到K+1。

但是为什么要用K+1?首先我们知道n是自然数,如果n=0是无效的,所以必须从n=1证明,如果n=1使式子(命题)成立的话,那么n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 就可以变成 k^3 + 3(k^2)/2 + k/2。当然我们不必知道K是什么,但是为了符合n是自然数,而且要命题成立的话,单说 k^3 + 3(k^2)/2 + k/2是不够的,你要做进一步的证明,即n=k+1,别忘记,没有考虑0。

n^3 + 3(n^2)/2 + n/2=n/2(2n+1)(n+1)


chwk87的做法与我也是一样,只不过我用K+1的方法证明。

而且如果n=1,n=k使式子成立的话,必然n=k+1也一定成立的。

不知道我的解释有没有符合你的要求?
回复

使用道具 举报

发表于 19-8-2004 10:03 PM | 显示全部楼层
请 问 自 然 数 是 什 么 ?  我 是 读 政 中 的 , 所 以 不 大 明 白 华 文 的  matematical terms。
回复

使用道具 举报

发表于 19-8-2004 10:47 PM | 显示全部楼层
chwk87 于 19-8-2004 10:03 PM  说 :
请 问 自 然 数 是 什 么 ?  我 是 读 政 中 的 , 所 以 不 大 明 白 华 文 的  matematical terms。


自然数 = natural number = nombor tabii (好像是啦~)
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 19-8-2004 11:29 PM | 显示全部楼层
辉文 于 19-8-2004 03:16 PM  说 :
pipi网友,数学归纳法的证明是这样的,从0开始判定式子,然后再假设任何一个值,我称为k,其实chwk87方法与我用归纳法方法一样,只不过那n是K+1。如果n是整数的话,我们可以从0开始,证明到K就行了,不必到K+ ...

而且如果n=1,n=k使式子成立的话,必然n=k+1也一定成立的。

辉文网友,谢谢你的解释!
在这里,我做个补充:数学归纳法的证明未必从0(也未必从1)开始判定式子,而是看题目的要求!

另一点,当我们用数学归纳法,要证明命题 n=k+1 成立,都需要用到命题 n=k 成立这个假设!

所以,我的问题是
当n=k+1时, (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(k+1)^2 +(k+1)+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时,命题也成立。

为何得到这个结论??(这里没有用到命题 n=k 成立这个假设!)

chwk87的做法与我也是一样,只不过我用K+1的方法证明。

之前说了:做"证明题"不可以单靠例子,因为这是不足够的!!
例子:我们知道 3,5,7 都是质数。 但不能就因为这三个例子得到"大于 1 的奇数都是质数!"这个结论!

再补充一点,若可证明命题 n=k+1 成立,而不需要用到命题 n=k 成立这个假设的话,那我们大可直接证明原题,而不需要用数学归纳法!

[ Last edited by pipi on 20-8-2004 at 10:02 AM ]
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 19-8-2004 11:34 PM | 显示全部楼层
于 19-8-2004 02:21 PM  说 :
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
=n/2(2n^2+3n+1)
=n/2(2n+1)(n+1)
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给 8 除,又是三个连续号码。

所以..

就是这样!!
注:三个连续整数的积必定是 6 的倍数!
再注:n 个连续整数的积必定是 n! 的倍数!

[ Last edited by pipi on 21-8-2004 at 12:24 AM ]
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 20-8-2004 10:04 AM | 显示全部楼层
这几天的讨论不错,请不要停了下来!
20/08/2004,星期五
a,b,c,d 为任意正数,
设 S = a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)
求证:  1 < S < 2
21/08/2004,星期六
已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除,
求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。
22/08/2004,星期日
设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
已知 a + c + e = 0,求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。


p/s: 也许这两天未能上网,所以先把问题贴上!(12:40AM,21/08/04)
p/s: 结果,我今天(4:20PM, 21/08/04)还是来了!

[ Last edited by pipi on 21-8-2004 at 04:19 PM ]
回复

使用道具 举报

发表于 21-8-2004 01:31 AM | 显示全部楼层
21/08/2004,星期六
已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除,
求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。


设 7^82 + 8^161 = k

7^83 + 8^163 = 7^82+(6*7^82) + 8^161+(63*8^161)

             =k + 3(2*7^82+21*8^161)
            
             = k + 3(2k + 19*8^161)
            
             = k + 6k + 57*8^161
k 能被57 整除。
所以 k + 6k + 57*8^161 也能被57整除
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 21-8-2004 04:15 PM | 显示全部楼层
19/08/2004星期四的题目
辉文 于 19-8-2004 03:00 PM  说 :
先做这题:[quote]已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b),
求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c)


我用比较笨的办法,因为我想从(y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)那里开始寻找x,z的值,因此我引用三元一次方程式,即:

x(b+c) + y(c-a) - z(a+b)=0   ---(1)
x(c-b) + y(a+c) - z( ... [/quote]
这个做法可行!其实并没有所谓""的方法!只有可行不可行而已!
当然,在比赛时就得用一些"快速"的方法了!不过,我们这里只是玩玩,应该让它百花齐放!
所以,若各位看官有其他的方法,请贴上来,大家交流交流!

21/08/2004星期六的题目
fritlizt 于 21-8-2004 01:31 AM  说 :
[quote]已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除,
求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。

设 7^82 + 8^161 = k
7^83 + 8^163 = 7^82+(6*7^82) + 8^161+(63*8^161)
             =k + 3(2*7^82+21*8^161)
             = k + 3(2k + 19*8^161)
             ... [/quote]
这个解答当然正确!
不过,同样的,如果你有解答,还请你贴上它吧!谢谢!
回复

使用道具 举报


ADVERTISEMENT

发表于 22-8-2004 01:26 AM | 显示全部楼层

22/08/2004,星期日的题目

22/08/2004,星期日
大专(C1) 设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
         已知 a + c + e = 0,求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根


如果p(x)=0在 区间 [-1,1]有实根的话,则我们可以考虑x=-1 或 x=1

p(1) = a + b + 3c + d + 5e = 0 --------(1)
p(-1)= a - b + 3c - d + 5e = 0 --------(2)
加上    a + c + e = 0 -----------------(3)

(1)+(2)           2a + 6c + 10e = 0
                   a + 3c + 5e = 0 ------(4)   

(4)-(3)               2c + 4e =0
                            c = -2e

把 c=-2e 代入 第(3)方程式,得到, a=e

把 a=e, c=-2e 代入 第(2)方程式,得到, e-b+3(-2e)-d+5e=0
                                                     b=-d

即所得的P(x)方程式为, p(x)= e + bx  + 3(-2e)x^2 - bx^3  + 5ex^4  (注意 b=-d)
把式子整理                 = e - 6ex^2 + 5ex^4 + bx - bx^3
因式分解                   = (5ex^2 -e)(x^2-1) + bx(x^2-1)
抽出(x^2-1)                = (x^2-1)(5ex^2+bx-e)

现在,得到的结论是 p(x)= (x^2-1)[ 5ex^2+bx-e)。为什么我会得到这个结论?原因是,因为我可以利用判别式 b^2-4ac 来检验 当 p(x)=0,在区间[-1,1]是否有实根,现在检验开始:
               
从 5ex^2 + bx -e检验 ,设5ex^2 + bx -e= ax^2+bx+c
应用判别式子,   delta= b^2-4ac
                      = b^2-4(5e)(-e)
                      = b^2+20e^2

从这点可以下结论,b与e无论等於什么数字,delta永远大于零或者等於零,不会小於零。既然delta大於等於(>=)零,以这个结论可以论证p(x)=0,在区间[-1,1]有实根。那实根就是(x^2-1)(5ex^2+bx-e)。

虽然不晓得以上证明的方法是否正确,但是我还是放上来让大家讨论。
回复

使用道具 举报

发表于 22-8-2004 01:50 AM | 显示全部楼层
chwk87 于 16-8-2004 19:36  说 :
(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)
=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)
=16082004-26082003
=-9999999



想请教
为什么=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
是=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)怎么变的
请教教我
回复

使用道具 举报

发表于 22-8-2004 01:56 AM | 显示全部楼层
chwk87 于 17-8-2004 19:52  说 :
X^2+2X+3=0

So, x^2+2x=-3

    (x^2+2x)=(-3)^2
    x^4+4x^3+4X^2=9
    x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
    x^4+4x^3+7X^2+6x+3=3(X^2+2X+3+1)
                      =3(0+1)
               ...


我数学很差
可以告诉我是如何变的吗?

x^4+4x^3+4X^2=9
    x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3

如何来的
x^4+4x^3+4X^2=9
x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
为何要加3x^2+6x+3
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 22-8-2004 02:01 AM | 显示全部楼层
辉文 于 22-8-2004 01:26 AM  说 :
如果p(x)=0在 区间 [-1,1]有实根的话,则我们可以考虑x=-1 或 x=1
p(1) = a + b + 3c + d + 5e = 0 --------(1)
p(-1)= a - b + 3c - d + 5e = 0 --------(2)

这里有问题!!
注意:p(x)=0 在 区间 [-1,1]有实根,并不代表 p(1)=p(-1)=0。
基于你的假设有问题,这方法不可行!
不过还是谢谢你的分享!!
请再接再厉!

p/s:
不好意思,再给个comment,假设你的做法正确,以下这句话
那实根就是(x^2-1)(5ex^2+bx-e)。

也有问题!!因为(x^2-1)(5ex^2+bx-e)不是什么实根,而只是 p(x) 的因式分解而已!!
共勉之!

[ Last edited by pipi on 22-8-2004 at 02:02 AM ]
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

 

ADVERTISEMENT



ADVERTISEMENT



ADVERTISEMENT

ADVERTISEMENT


版权所有 © 1996-2023 Cari Internet Sdn Bhd (483575-W)|IPSERVERONE 提供云主机|广告刊登|关于我们|私隐权|免控|投诉|联络|脸书|佳礼资讯网

GMT+8, 1-11-2024 07:50 AM , Processed in 0.122680 second(s), 21 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表